Question

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son factores de $2^{24}-1$ ?

How many positive two-digit integers are factors of $2^{24}-1?$

$4$

$8$

$10$

$12$

$14$

Solución:

Factorizando, $\begin{aligned} 2^{24}-1 &=(2^{12}-1)(2^{12}+1) \\ &=(2^6-1)(2^6+1) \\ &\quad {}\cdot(2^4+1)(2^8-2^4+1), \end{aligned}$ lo que es igual a $63\cdot65\cdot17\cdot241$ $=3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241.$

Como $241$ es un primo de tres dígitos, los factores de dos dígitos provienen de $3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17.$ Son $\begin{gathered} 13,15,17,21,35,39,45,51, \\ 63,65,85,91, \end{gathered}$ para un total de $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring, $\begin{aligned} 2^{24}-1 &=(2^{12}-1)(2^{12}+1) \\ &=(2^6-1)(2^6+1) \\ &\quad {}\cdot(2^4+1)(2^8-2^4+1), \end{aligned}$ which equals $63\cdot65\cdot17\cdot241$ $=3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241.$

Since $241$ is a three-digit prime, the two-digit factors come from $3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17.$ They are $\begin{gathered} 13,15,17,21,35,39,45,51, \\ 63,65,85,91, \end{gathered}$ for a total of $12.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años