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2023 AMC 12B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2023 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Supón que a,a, b,b, y cc son enteros positivos tales que
a14+b15=c210. \frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.
¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente verdaderos?
I. Si gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 o gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 o ambos, entonces gcd⁡(c,210)=1.\gcd(c,210)=1.
II. Si gcd⁡(c,210)=1,\gcd(c,210)=1, entonces gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 o gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 o ambos.
III. gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 si y solo si gcd⁡(a,14)=gcd⁡(b,15)=1.\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.
Suppose a,a, b,b, and cc are positive integers such that
a14+b15=c210. \frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.
Which of the following statements are necessarily true?
I. If gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 or gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 or both, then gcd⁡(c,210)=1.\gcd(c,210)=1.
II. If gcd⁡(c,210)=1,\gcd(c,210)=1, then gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 or gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 or both.
III. gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 if and only if gcd⁡(a,14)=gcd⁡(b,15)=1.\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.
I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} y III\mathrm{III}
I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and III\mathrm{III}
Solo I\mathrm{I}
I\mathrm{I} only
Solo I\mathrm{I} y II\mathrm{II}
I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only
Solo III\mathrm{III}
III\mathrm{III} only
Solo II\mathrm{II} y III\mathrm{III}
II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only
Respuesta: E
Conceptos:máximo común divisoraritmética modulardeducción lógica
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Al despejar los denominadores se obtiene c=15a+14b,c=15a+14b, así que c≡a(mod14)c\equiv a\pmod{14} y c≡−b(mod15)c\equiv -b\pmod{15}
Clearing denominators gives c=15a+14b,c=15a+14b, so c≡a(mod14)c\equiv a\pmod{14} and c≡−b(mod15)c\equiv -b\pmod{15}
Pista grande:
Por lo tanto, 2,72,7 dividen a cc si y solo si dividen a a,a, y 3,53,5 dividen a cc si y solo si dividen a bb
Hence 2,72,7 divide cc iff they divide a,a, and 3,53,5 divide cc iff they divide bb
Solución:
Multiplicando por 210210 se obtiene c=15a+14b.c=15a+14b. Como 15≡1(mod14),15\equiv 1\pmod{14}, obtenemos c≡a(mod14),c\equiv a\pmod{14}, así que gcd⁡(c,14)=1\gcd(c,14)=1 si y solo si gcd⁡(a,14)=1.\gcd(a,14)=1. Como 14≡−1(mod15),14\equiv -1\pmod{15}, obtenemos c≡−b(mod15),c\equiv -b\pmod{15}, así que gcd⁡(c,15)=1\gcd(c,15)=1 si y solo si gcd⁡(b,15)=1.\gcd(b,15)=1. Como 210=14⋅15210=14\cdot 15 con gcd⁡(14,15)=1,\gcd(14,15)=1, el enunciado III se sigue: gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 si y solo si ambos se cumplen. El enunciado II es la implicación directa de III, por lo que es verdadero. El enunciado I es falso: si gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 pero gcd⁡(b,15)≠1,\gcd(b,15)\ne 1, entonces gcd⁡(c,15)≠1,\gcd(c,15)\ne 1, así que gcd⁡(c,210)≠1.\gcd(c,210)\ne 1. Solo II y III son verdaderos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Multiplying by 210210 gives c=15a+14b.c=15a+14b. Since 15≡1(mod14),15\equiv 1\pmod{14}, we get c≡a(mod14),c\equiv a\pmod{14}, so gcd⁡(c,14)=1\gcd(c,14)=1 iff gcd⁡(a,14)=1.\gcd(a,14)=1. Since 14≡−1(mod15),14\equiv -1\pmod{15}, we get c≡−b(mod15),c\equiv -b\pmod{15}, so gcd⁡(c,15)=1\gcd(c,15)=1 iff gcd⁡(b,15)=1.\gcd(b,15)=1. As 210=14⋅15210=14\cdot 15 with gcd⁡(14,15)=1,\gcd(14,15)=1, statement III follows: gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 iff both hold. Statement II is the forward implication of III, hence true. Statement I is false: if gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 but gcd⁡(b,15)≠1,\gcd(b,15)\ne 1, then gcd⁡(c,15)≠1,\gcd(c,15)\ne 1, so gcd⁡(c,210)≠1.\gcd(c,210)\ne 1. Only II and III are true.
Thus, the correct answer is E.
Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

El Problema 15 en otros años

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