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2023 AMC 12B Problema 15

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 15 del 2023 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:máximo común divisoraritmética modulardeducción lógica

Nivel de dificultad: 1800

15.

Supón que a,a, b,b, y cc son enteros positivos tales que

a14+b15=c210. \frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.

¿Cuáles de los siguientes enunciados son necesariamente verdaderos?

I. Si gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 o gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 o ambos, entonces gcd⁡(c,210)=1.\gcd(c,210)=1.

II. Si gcd⁡(c,210)=1,\gcd(c,210)=1, entonces gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 o gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 o ambos.

III. gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 si y solo si gcd⁡(a,14)=gcd⁡(b,15)=1.\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.

Suppose a,a, b,b, and cc are positive integers such that

a14+b15=c210. \frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.

Which of the following statements are necessarily true?

I. If gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 or gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 or both, then gcd⁡(c,210)=1.\gcd(c,210)=1.

II. If gcd⁡(c,210)=1,\gcd(c,210)=1, then gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 or gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 or both.

III. gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 if and only if gcd⁡(a,14)=gcd⁡(b,15)=1.\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.

I, II y III

I, II, and III

Solo I

I only

Solo I y II

I and II only

Solo III

III only

Solo II y III

II and III only

Solución:

Multiplicando por 210210 se obtiene c=15a+14b.c=15a+14b. Como 15≡1(mod14),15\equiv 1\pmod{14}, obtenemos c≡a(mod14),c\equiv a\pmod{14}, así que gcd⁡(c,14)=1\gcd(c,14)=1 si y solo si gcd⁡(a,14)=1.\gcd(a,14)=1. Como 14≡−1(mod15),14\equiv -1\pmod{15}, obtenemos c≡−b(mod15),c\equiv -b\pmod{15}, así que gcd⁡(c,15)=1\gcd(c,15)=1 si y solo si gcd⁡(b,15)=1.\gcd(b,15)=1. Como 210=14⋅15210=14\cdot 15 con gcd⁡(14,15)=1,\gcd(14,15)=1, el enunciado III se sigue: gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 si y solo si ambos se cumplen. El enunciado II es la implicación directa de III, por lo que es verdadero. El enunciado I es falso: si gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 pero gcd⁡(b,15)≠1,\gcd(b,15)\ne 1, entonces gcd⁡(c,15)≠1,\gcd(c,15)\ne 1, así que gcd⁡(c,210)≠1.\gcd(c,210)\ne 1. Solo II y III son verdaderos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Multiplying by 210210 gives c=15a+14b.c=15a+14b. Since 15≡1(mod14),15\equiv 1\pmod{14}, we get c≡a(mod14),c\equiv a\pmod{14}, so gcd⁡(c,14)=1\gcd(c,14)=1 iff gcd⁡(a,14)=1.\gcd(a,14)=1. Since 14≡−1(mod15),14\equiv -1\pmod{15}, we get c≡−b(mod15),c\equiv -b\pmod{15}, so gcd⁡(c,15)=1\gcd(c,15)=1 iff gcd⁡(b,15)=1.\gcd(b,15)=1. As 210=14⋅15210=14\cdot 15 with gcd⁡(14,15)=1,\gcd(14,15)=1, statement III follows: gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 iff both hold. Statement II is the forward implication of III, hence true. Statement I is false: if gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 but gcd⁡(b,15)≠1,\gcd(b,15)\ne 1, then gcd⁡(c,15)≠1,\gcd(c,15)\ne 1, so gcd⁡(c,210)≠1.\gcd(c,210)\ne 1. Only II and III are true.

Thus, the correct answer is E.

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El Problema 15 en otros años

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