Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2016 AMC 12A Problema 15

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 15 del 2016 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:circunferencias tangentesTeorema de Pitágorasfórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1800

15.

Las circunferencias con centros P,P, Q,Q, y R,R, de radios 1,1, 2,2, y 3,3, respectivamente, están del mismo lado de la recta ll y son tangentes a ll en P′,P', Q′,Q', y R′,R', respectivamente, con Q′Q' entre P′P' y R′.R'. La circunferencia con centro QQ es tangente exterior a cada una de las otras dos. ¿Cuál es el área del △PQR\triangle PQR?

Circles with centers P,P, Q,Q, and R,R, having radii 1,1, 2,2, and 3,3, respectively, lie on the same side of line ll and are tangent to ll at P′,P', Q′,Q', and R′,R', respectively, with Q′Q' between P′P' and R′.R'. The circle with center QQ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of △PQR?\triangle PQR?

00

23\sqrt{\dfrac{2}{3}}

11

6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}

32\sqrt{\dfrac{3}{2}}

Solución:

Los centros están a alturas 1,1, 2,2, y 33 sobre la recta l.l. Como la circunferencia QQ es tangente exterior a la circunferencia P,P, tenemos PQ=3,PQ=3, por lo que la distancia horizontal es P′Q′=32−12=8.P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}. Como la circunferencia QQ es tangente a la circunferencia R,R, tenemos QR=5,QR=5, así que Q′R′=52−12=24.Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.

Coloca P=(0,1),P=(0,1), Q=(8,2),Q=(\sqrt8,2), y R=(8+24,3).R=(\sqrt8+\sqrt{24},3). Por la fórmula del cordón, el área es 12∣8(3−1)+(8+24)(1−2)∣=12(24−8)=6−2. \begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers lie at heights 1,1, 2,2, and 33 above line l.l. Since circle QQ is externally tangent to circle P,P, we have PQ=3,PQ=3, so the horizontal distance is P′Q′=32−12=8.P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}. Since circle QQ is tangent to circle R,R, we have QR=5,QR=5, so Q′R′=52−12=24.Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.

Place P=(0,1),P=(0,1), Q=(8,2),Q=(\sqrt8,2), and R=(8+24,3).R=(\sqrt8+\sqrt{24},3). By the shoelace formula, the area is 12∣8(3−1)+(8+24)(1−2)∣=12(24−8)=6−2. \begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

← Problema 14#14Examen completoProblema 16#16 →

El Problema 15 en otros años

1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B