Question

La media, la mediana, la moda única y el rango de una colección de ocho enteros son todos iguales a $8.$ El mayor entero que puede ser un elemento de esta colección es

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Solución:

La colección $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ tiene media, mediana, moda única y rango todos iguales a $8,$ así que $14$ es alcanzable.

Suponga que el mayor fuera $15.$ El rango $8$ obliga a que el menor sea $7,$ y la mediana $8$ fija los dos valores centrales en $8, 8.$ Entonces $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ así que los cuatro valores restantes suman $64 - 38 = 26,$ con promedio $6.5.$ Al menos uno estaría por debajo de $7,$ contradiciendo el mínimo. Así que $15$ es imposible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The collection $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

Suppose the largest were $15.$ The range $8$ forces the smallest to be $7,$ and the median $8$ fixes the two middle values as $8, 8.$ Then $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ so the remaining four values sum to $64 - 38 = 26,$ averaging $6.5.$ At least one would be below $7,$ contradicting the minimum. So $15$ is impossible.

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años