Question

Para todos los enteros positivos $n,$ sea $f(n) = \log_{2002} n^2.$ Sea $N = f(11) + f(13) + f(14).$ ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

For all positive integers $n,$ let $f(n) = \log_{2002} n^2.$ Let $N = f(11) + f(13) + f(14).$ Which of the following relations is true?

$N \gt 1$

$N = 1$

$1 \lt N \lt 2$

$N = 2$

$N \gt 2$

Solución:

Usando $\log a^2 = 2\log a$ y sumando logaritmos, $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}$

Como $11\cdot 13\cdot 14 = 2002,$ esto es $\log_{2002} 2002^2 = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $\log a^2 = 2\log a$ and adding logs, $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}$

Since $11\cdot 13\cdot 14 = 2002,$ this is $\log_{2002} 2002^2 = 2.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años