Question

Un círculo con centro $(0, k),$ con $k \gt 6,$ es tangente a las rectas $y = x,$ $y = -x$ y $y = 6.$ ¿Cuál es el radio de este círculo?

A circle having center $(0, k),$ with $k \gt 6,$ is tangent to the lines $y = x,$ $y = -x$ and $y = 6.$ What is the radius of this circle?

$6\sqrt{2} - 6$

$6$

$6\sqrt{2}$

$12$

$6 + 6\sqrt{2}$

Como el círculo es tangente a $y = 6$ y su centro $(0, k)$ está por encima de esa recta, el radio es $r = k - 6.$

La distancia de $(0, k)$ a la recta $x - y = 0$ es $\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},$ y esto también debe ser igual a $r.$

Al igualar $\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6$ se obtiene $k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}$ $= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)$ $= 12 + 6\sqrt2.$

Entonces $r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the circle is tangent to $y = 6$ and its center $(0, k)$ is above that line, the radius is $r = k - 6.$

The distance from $(0, k)$ to the line $x - y = 0$ is $\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},$ and this must also equal $r.$

Setting $\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6$ gives $k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}$ $= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)$ $= 12 + 6\sqrt2.$

Then $r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2.$

Thus, the correct answer is E.