Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ enteros distintos tales que

$\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $a+b+c+d+e$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be distinct integers such that

$\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}$

What is $a+b+c+d+e?$

$5$

$17$

$25$

$27$

$30$

Solución:

Los cinco factores son enteros distintos no nulos con producto $45$ , así que cada uno es un divisor positivo o negativo de $45$ . Verificando $\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45$ , solo el conjunto de cinco elementos $\{-3,-1,1,3,5\}$ tiene producto $45$ .

Entonces $a,b,c,d,e$ son $9,7,5,3,1$ en algún orden, y su suma es $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five factors are distinct nonzero integers with product $45$ , so each is a positive or negative divisor of $45$ . Checking $\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45$ , only the five-element set $\{-3,-1,1,3,5\}$ has product $45$ .

Then $a,b,c,d,e$ are $9,7,5,3,1$ in some order, and their sum is $25.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años