Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ enteros distintos tales que

$\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $a+b+c+d+e$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be distinct integers such that

$\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}$

What is $a+b+c+d+e?$

$5$

$17$

$25$

$27$

$30$

Respuesta: C

Conceptos:factorización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los cinco factores $6-a,\ldots,6-e$ son enteros distintos cuyo producto es $45$ .

The five factors $6-a,\ldots,6-e$ are distinct integers whose product is $45$

Pista grande:

Verifica los divisores positivos y negativos de $45$ ; solo $\{-3,-1,1,3,5\}$ da cinco factores distintos.

Check the positive and negative divisors of $45$ ; only $\{-3,-1,1,3,5\}$ gives five distinct factors

Solución:

Los cinco factores son enteros distintos no nulos con producto $45,$ así que cada uno es un divisor positivo o negativo de $45.$ Verificando $\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45,$ solo el conjunto de cinco elementos $\{-3,-1,1,3,5\}$ tiene producto $45.$

Entonces $a,b,c,d,e$ son $9,7,5,3,1$ en algún orden, y su suma es $25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five factors are distinct nonzero integers with product $45,$ so each is a positive or negative divisor of $45.$ Checking $\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45,$ only the five-element set $\{-3,-1,1,3,5\}$ has product $45.$

Then $a,b,c,d,e$ are $9,7,5,3,1$ in some order, and their sum is $25.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años