Question

Un trozo de queso está ubicado en $(12,10)$ en un plano de coordenadas. Un ratón está en $(4,-2)$ y corre subiendo por la recta $y=-5x+18.$ En el punto $(a,b)$ el ratón comienza a alejarse del queso en lugar de acercarse. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

A piece of cheese is located at $(12,10)$ in a coordinate plane. A mouse is at $(4,-2)$ and is running up the line $y=-5x+18.$ At the point $(a,b)$ the mouse starts getting farther from the cheese rather than closer to it. What is $a+b?$

$6$

$10$

$14$

$18$

$22$

Solución:

El ratón está más cerca del queso en el pie de la perpendicular trazada desde $(12,10)$ hasta la recta.

Esta perpendicular tiene pendiente $\tfrac15,$ así que su ecuación es $y=10+\tfrac15(x-12)=\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}.$

Igualando $\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}=-5x+18$ se obtiene $x=2$ y $y=8.$ Así que $(a,b)=(2,8)$ y $a+b=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The mouse is closest to the cheese at the foot of the perpendicular from $(12,10)$ to the line.

This perpendicular has slope $\tfrac15,$ so its equation is $y=10+\tfrac15(x-12)=\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}.$

Setting $\tfrac15 x+\tfrac{38}{5}=-5x+18$ gives $x=2$ and $y=8.$ Thus $(a,b)=(2,8)$ and $a+b=10.$

Thus, the correct answer is B.

2007 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años