Question

Un cuadrado de perímetro $20$ está inscrito en un cuadrado de perímetro $28.$ ¿Cuál es la mayor distancia entre un vértice del cuadrado interior y un vértice del cuadrado exterior?

A square of perimeter $20$ is inscribed in a square of perimeter $28.$ What is the greatest distance between a vertex of the inner square and a vertex of the outer square?

$\sqrt{58}$

$\frac{7\sqrt5}{2}$

$8$

$\sqrt{65}$

$5\sqrt3$

Respuesta: D

Conceptos:inscribed square Pythagorean theorem distance

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Un vértice del cuadrado interior divide un lado exterior en segmentos de longitudes $x$ e $y$

A vertex of the inner square divides an outer side into lengths $x$ and $y$

Pista grande:

Usa $x+y=7$ y $x^2+y^2=25$

Use $x+y=7$ and $x^2+y^2=25$

Solución:

Las longitudes de los lados exterior e interior son $7$ y $5.$ En cualquier vértice interior, los dos segmentos del lado exterior tienen longitudes $x$ e $y$ , con $x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.$ Por tanto, $2xy=49-25=24,$ así que $\{x,y\}=\{3,4\}.$ Desde un vértice interior situado en un lado, el vértice exterior opuesto más lejano está a un desplazamiento horizontal de $4$ y vertical de $7.$ La mayor distancia es, por lo tanto, $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.$ La respuesta correcta es D.

The outer and inner side lengths are $7$ and $5.$ At any inner vertex, the two pieces of the outer side have lengths $x$ and $y$ with $x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.$ Hence $2xy=49-25=24,$ so $\{x,y\}=\{3,4\}.$ From an inner vertex on one side, the farther opposite outer vertex has horizontal displacement $4$ and vertical displacement $7.$ The greatest distance is therefore $\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.$ Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 Problema 13

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años