Question

Se quiere construir un triángulo $ABC$ dados el lado $a$ (opuesto al ángulo $A$ ), el ángulo $B,$ y $h_c,$ la altura desde $C.$ Si $N$ es el número de soluciones no congruentes, entonces $N$

A triangle $ABC$ is to be constructed given side $a$ (opposite angle $A$ ), angle $B,$ and $h_c,$ the altitude from $C.$ If $N$ is the number of noncongruent solutions, then $N$

es $1$

is $1$

es $2$

is $2$

debe ser cero

must be zero

debe ser infinito

must be infinite

debe ser cero o infinito

must be zero or infinite

Respuesta: E

Conceptos:altura trigonometría deducción lógica

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Fija $BC=a$ y traza desde $B$ el rayo que forma el ángulo dado

Fix $BC=a$ and draw the ray from $B$ making the given angle

Pista grande:

La distancia de $C$ a ese rayo es fija, sin importar dónde esté $A$ sobre él

The distance from $C$ to that ray is fixed, regardless of where $A$ lies on it

Solución:

Fijamos $BC=a$ y trazamos desde $B$ el rayo que forma el ángulo prescrito $B.$ Su distancia a $C$ es fija. Si esa distancia no es $h_c,$ no hay solución. Si es $h_c,$ entonces $A$ puede elegirse en infinitas posiciones del rayo, lo que produce infinitos triángulos no congruentes. Así, $N$ debe ser cero o infinito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Fix $BC=a$ and draw the ray from $B$ that makes the prescribed angle $B.$ Its distance from $C$ is fixed. If that distance is not $h_c,$ there is no solution. If it is $h_c,$ then $A$ may be chosen at infinitely many positions on the ray, producing infinitely many noncongruent triangles. Thus $N$ must be zero or infinite.

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años