Question

En el triángulo $ABC,$ $AB=AC.$ Si hay un punto $P$ estrictamente entre $A$ y $B$ tal que $AP=PC=CB,$ entonces $\angle A=$

In triangle $ABC,$ $AB=AC.$ If there is a point $P$ strictly between $A$ and $B$ such that $AP=PC=CB,$ then $\angle A=$

$30^\circ$

$36^\circ$

$48^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sea $\angle A=\theta$ y usa $AP=PC$ en $\triangle APC$

Let $\angle A=\theta$ and use $AP=PC$ in $\triangle APC$

Pista grande:

Usa $PC=CB$ para relacionar $\angle PCB$ con un ángulo de la base de $\triangle ABC$

Use $PC=CB$ to relate $\angle PCB$ to a base angle of $\triangle ABC$

Solución:

Sea $\angle A=\theta.$ Como $AP=PC,$ el triángulo $APC$ tiene $\angle PAC=\angle PCA=\theta.$ Como $AB=AC,$ cada ángulo de la base de $\triangle ABC$ es $\frac{180^\circ-\theta}{2}.$ Además, $PC=CB,$ de modo que los ángulos de la base de $\triangle PCB$ , en $P$ y $B$ , son iguales; el de $B$ es $\frac{180^\circ-\theta}{2}.$ Por consiguiente, $\angle PCB=\theta.$ En $C,$ $2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},$ lo cual da $5\theta=180^\circ$ y $\theta=36^\circ.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\angle A=\theta.$ Since $AP=PC,$ triangle $APC$ has $\angle PAC=\angle PCA=\theta.$ Since $AB=AC,$ each base angle of $\triangle ABC$ is $\frac{180^\circ-\theta}{2}.$ Also $PC=CB,$ so the base angles of $\triangle PCB$ at $P$ and $B$ are equal; the one at $B$ is $\frac{180^\circ-\theta}{2}.$ Hence $\angle PCB=\theta.$ At $C,$ $2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},$ giving $5\theta=180^\circ$ and $\theta=36^\circ.$ Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años