Question

Walter lanza cuatro dados estándar de seis caras y observa que el producto de los números de las caras superiores es $144.$ ¿Cuál de los siguientes no podría ser la suma de las cuatro caras superiores?

Walter rolls four standard six-sided dice and finds that the product of the numbers on the upper faces is $144.$ Which of the following could not be the sum of the upper four faces?

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Respuesta: E

Conceptos:factorization análisis por casos

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Factoriza $144=2^4\cdot3^2$ en cuatro factores entre $1$ y $6$

Factor $144=2^4\cdot3^2$ using four factors from $1$ through $6$

Pista grande:

Separa los casos con cero, una o dos caras que muestren $6$

Separate the cases with zero, one, or two faces showing $6$

Solución:

Entre los resultados posibles están $(4,4,3,3)$ con suma $14,$ $(6,4,3,2)$ con suma $15,$ $(6,6,2,2)$ con suma $16,$ y $(6,6,4,1)$ con suma $17.$ Si aparecen dos $6,$ las otras dos caras tienen producto $4$ y suma a lo sumo $5,$ para un total máximo de $17;$ los casos con menos $6$ tampoco pueden sumar $18$ y conservar producto $144.$ Por tanto, $18$ es imposible, y la respuesta correcta es E.

Valid rolls include $(4,4,3,3)$ with sum $14,$ $(6,4,3,2)$ with sum $15,$ $(6,6,2,2)$ with sum $16,$ and $(6,6,4,1)$ with sum $17.$ If two $6$ s occur, the other two faces have product $4$ and sum at most $5,$ giving total at most $17;$ the cases with fewer $6$ s also cannot total $18$ while retaining product $144.$ Thus $18$ is impossible, and E is correct.

1998 AMC 12 Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años