Question

¿Cuántos pares de enteros positivos $(a,b)$ con $a+b\le100$ satisfacen la ecuación $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?$

How many pairs of positive integers $(a,b)$ with $a+b\le100$ satisfy the equation $\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?$

$1$

$5$

$7$

$9$

$13$

Respuesta: C

Conceptos:rational expression positive integer solutions divisibilidad

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Multiplica el numerador y el denominador por $ab$

Multiply the numerator and denominator by $ab$

Pista grande:

Después de simplificar, expresa $a$ como múltiplo de $b$ y aplica la cota sobre $a+b$

After simplifying, write $a$ as a multiple of $b$ and apply the bound on $a+b$

Solución:

Al multiplicar el numerador y el denominador por $ab$ se obtiene $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.$ Por tanto, $a=13b.$ La condición $a+b\le100$ se convierte en $14b\le100,$ así que $b$ puede ser cualquier entero de $1$ a $7.$ Hay $7$ pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Multiplying the numerator and denominator by $ab$ gives $\frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab.$ Thus $a=13b.$ The condition $a+b\le100$ becomes $14b\le100,$ so $b$ may be any integer from $1$ through $7.$ There are $7$ pairs.

Thus the correct answer is C.

1992 AMC 12 Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años