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1992 AMC 12 Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1992 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1992 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen la misma gráfica? I. y=x−2II. y=x2−4x+2III. (x+2)y=x2−4 \begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}

Which of the following equations have the same graph? I. y=x−2II. y=x2−4x+2III. (x+2)y=x2−4 \begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}

solo I\mathrm{I} y II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

solo I\mathrm{I} y III\mathrm{III}

I\mathrm{I} and III\mathrm{III} only

solo II\mathrm{II} y III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} y III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} and III\mathrm{III}

ninguna; todas las ecuaciones tienen gráficas diferentes

None. All the equations have different graphs

Respuesta: E
Conceptos:graphdomain restrictionextraneous component
Nivel de dificultad: 1960
Pista pequeña:

Presta especial atención a lo que ocurre cuando x=−2x=-2

Pay special attention to what happens when x=−2x=-2

Pista grande:

La ecuación II omite un punto, mientras que la ecuación III incluye una recta vertical adicional completa

Equation II omits one point, while equation III includes an entire extra vertical line

Solución:

La ecuación I es toda la recta y=x−2.y=x-2. La ecuación II se simplifica a esa recta solo cuando x≠−2,x\ne-2, por lo que omite (−2,−4).(-2,-4). En la ecuación III, todo punto con x=−2x=-2 satisface 0=0;0=0; para los demás valores de xx se obtiene y=x−2.y=x-2. Por tanto, III es la recta junto con toda la recta vertical x=−2.x=-2. Las tres gráficas son diferentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Equation I is the whole line y=x−2.y=x-2. Equation II simplifies to that line only when x≠−2,x\ne-2, so it omits (−2,−4).(-2,-4). In equation III, every point with x=−2x=-2 satisfies 0=0;0=0; for other xx it gives y=x−2.y=x-2. Thus III is the line together with the entire vertical line x=−2.x=-2. The three graphs are different.

Thus the correct answer is E.

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