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2022 AMC 12A Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2022 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

¿Cuál es el valor de
(log⁡5)3+(log⁡20)3+(log⁡8)(log⁡0.25) \begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}
donde log⁡\log denota el logaritmo en base diez?
What is the value of
(log⁡5)3+(log⁡20)3+(log⁡8)(log⁡0.25) \begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}
where log⁡\log denotes the base-ten logarithm?
32\dfrac32
74\dfrac74
22
94\dfrac94
33
Respuesta: C
Conceptos:logaritmosuma y diferencia de cubos
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Sea u=log⁡2;u=\log 2; entonces log⁡5=1−u\log 5=1-u y log⁡20=1+u\log 20=1+u
Let u=log⁡2;u=\log 2; then log⁡5=1−u\log 5=1-u and log⁡20=1+u\log 20=1+u
Pista grande:
Además log⁡8=3u\log 8=3u y log⁡0.25=−2u;\log 0.25=-2u; usa a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
Also log⁡8=3u\log 8=3u and log⁡0.25=−2u;\log 0.25=-2u; use a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
Solución:
Sea u=log⁡2.u=\log 2. Entonces log⁡5=1−u,\log 5=1-u, log⁡20=1+u,\log 20=1+u, log⁡8=3u,\log 8=3u, y log⁡0.25=−2u.\log 0.25=-2u.
Con a=1−u, b=1+u,a=1-u,\ b=1+u, tenemos a+b=2a+b=2 y ab=1−u2,ab=1-u^2, así que a3+b3=(a+b)((a+b)2−3ab)=2(4−3(1−u2))=2+6u2. \begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}
El último término es (3u)(−2u)=−6u2,(3u)(-2u)=-6u^2, así que el total es 2+6u2−6u2=2.2+6u^2-6u^2=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let u=log⁡2.u=\log 2. Then log⁡5=1−u,\log 5=1-u, log⁡20=1+u,\log 20=1+u, log⁡8=3u,\log 8=3u, and log⁡0.25=−2u.\log 0.25=-2u.
With a=1−u, b=1+u,a=1-u,\ b=1+u, we have a+b=2a+b=2 and ab=1−u2,ab=1-u^2, so a3+b3=(a+b)((a+b)2−3ab)=2(4−3(1−u2))=2+6u2. \begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}
The last term is (3u)(−2u)=−6u2,(3u)(-2u)=-6u^2, so the total is 2+6u2−6u2=2.2+6u^2-6u^2=2.
Thus, the correct answer is C.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

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