Question

La sucesión $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ es una progresión aritmética. ¿Cuánto vale $x$ ?

The sequence $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ is an arithmetic progression. What is $x?$

$125\sqrt{3}$

$270$

$162\sqrt{5}$

$434$

$225\sqrt{6}$

Solución:

Como los logaritmos están en progresión aritmética, $162, x, y, z, 1250$ es una sucesión geométrica. Su razón común $r$ satisface $162 r^4 = 1250$ , así que $r^4 = \tfrac{625}{81}$ y $r = \tfrac53$ .

Por consiguiente $x = 162\cdot\tfrac53 = 270$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because the logarithms are in arithmetic progression, $162, x, y, z, 1250$ is a geometric sequence. Its common ratio $r$ satisfies $162 r^4 = 1250,$ so $r^4 = \tfrac{625}{81}$ and $r = \tfrac53.$

Therefore $x = 162\cdot\tfrac53 = 270.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años