Question

En la figura, el hexágono equilátero $ABCDEF$ tiene tres ángulos interiores agudos no adyacentes que miden cada uno $30^\circ.$ El área encerrada del hexágono es $6\sqrt{3}.$ ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

In the figure, equilateral hexagon $ABCDEF$ has three nonadjacent acute interior angles that each measure $30^\circ.$ The enclosed area of the hexagon is $6\sqrt{3}.$ What is the perimeter of the hexagon?

$4$

$4\sqrt{3}$

$12$

$18$

$12\sqrt{3}$

Solución:

Sea la longitud del lado común $s.$ Los tres vértices agudos son las puntas de triángulos isósceles con dos lados $s$ y ápice $30^\circ;$ cada uno tiene área $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.$

Los tres vértices reflejos forman un triángulo equilátero interior con lado $2s\sin 15^\circ,$ cuya área es $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.$ Usando $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},$ el área total es $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.$

Igualando $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ da $s^2 = 12,$ así que $s = 2\sqrt3$ y el perímetro es $6s = 12\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the common side length be $s.$ The three acute vertices are the tips of isosceles triangles with two sides $s$ and apex $30^\circ;$ each has area $\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.$

The three reflex vertices form an inner equilateral triangle with side $2s\sin 15^\circ,$ whose area is $\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.$ Using $\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},$ the total area is $\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.$

Setting $\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ gives $s^2 = 12,$ so $s = 2\sqrt3$ and the perimeter is $6s = 12\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años