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2021 AMC 12A Fall Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2021 AMC 12A Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12A Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

En la figura, el hexágono equilátero ABCDEFABCDEF tiene tres ángulos interiores agudos no adyacentes que miden cada uno 30∘.30^\circ. El área encerrada del hexágono es 63.6\sqrt{3}. ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

In the figure, equilateral hexagon ABCDEFABCDEF has three nonadjacent acute interior angles that each measure 30∘.30^\circ. The enclosed area of the hexagon is 63.6\sqrt{3}. What is the perimeter of the hexagon?

44

434\sqrt{3}

1212

1818

12312\sqrt{3}

Respuesta: E
Conceptos:descomposición de áreastrigonometría
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:

Sea el lado s.s. Las tres puntas de 30∘30^\circ son triángulos isósceles con catetos s;s; se apoyan en los lados del triángulo interior formado por los tres vértices reflejos

Let the side be s.s. The three 30∘30^\circ tips are isosceles triangles with legs s;s; they sit on the sides of the inner triangle formed by the three reflex vertices

Pista grande:

Cada punta tiene área 12s2sin⁡30∘,\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ, y el triángulo equilátero interior tiene lado 2ssin⁡15∘2s\sin 15^\circ.

Each tip has area 12s2sin⁡30∘,\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ, and the inner equilateral triangle has side 2ssin⁡15∘2s\sin 15^\circ

Solución:

Sea la longitud del lado común s.s. Los tres vértices agudos son las puntas de triángulos isósceles con dos lados ss y ápice 30∘;30^\circ; cada uno tiene área 12s2sin⁡30∘=s24.\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.

Los tres vértices reflejos forman un triángulo equilátero interior con lado 2ssin⁡15∘,2s\sin 15^\circ, cuya área es 3 s2sin⁡215∘.\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ. Usando sin⁡215∘=2−34,\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4}, el área total es 3s24+3 s2⋅2−34=s232. \frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.

Igualando s232=63\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 da s2=12,s^2 = 12, así que s=23s = 2\sqrt3 y el perímetro es 6s=123.6s = 12\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the common side length be s.s. The three acute vertices are the tips of isosceles triangles with two sides ss and apex 30∘;30^\circ; each has area 12s2sin⁡30∘=s24.\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.

The three reflex vertices form an inner equilateral triangle with side 2ssin⁡15∘,2s\sin 15^\circ, whose area is 3 s2sin⁡215∘.\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ. Using sin⁡215∘=2−34,\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4}, the total area is 3s24+3 s2⋅2−34=s232. \frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.

Setting s232=63\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 gives s2=12,s^2 = 12, so s=23s = 2\sqrt3 and the perimeter is 6s=123.6s = 12\sqrt3.

Thus, the correct answer is E.

Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

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