Question

La suma de una serie geométrica infinita es un número positivo $S,$ y el segundo término de la serie es $1.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $S$ ?

The sum of an infinite geometric series is a positive number $S,$ and the second term in the series is $1.$ What is the smallest possible value of $S?$

$\dfrac{1+\sqrt5}{2}$

$2$

$\sqrt5$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Con razón $r$ y segundo término $1,$ el primer término es $\frac{1}{r},$ así que $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$ .

With ratio $r$ and second term $1,$ the first term is $\frac{1}{r},$ so $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$

Pista grande:

$S$ es mínimo cuando $r-r^2$ es máximo; maximiza la parábola $r-r^2$ que abre hacia abajo.

$S$ is smallest when $r-r^2$ is largest; maximize the downward parabola $r-r^2$

Solución:

Sea $r$ la razón común. Como el segundo término es $1,$ el primero es $\dfrac1r,$ así que $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.$ La convergencia exige $|r|\lt1,$ y $S\gt0$ obliga entonces a $0\lt r\lt1.$ Por tanto, $S$ es mínimo cuando $r-r^2$ es máximo. La parábola $r-r^2$ alcanza su máximo en $r=\tfrac12,$ donde vale $\tfrac14,$ así que el menor valor de $S$ es $\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $r$ be the common ratio. Since the second term is $1,$ the first term is $\dfrac1r,$ so $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.$ Convergence requires $|r|\lt1,$ and $S\gt0$ then forces $0\lt r\lt1.$ Therefore $S$ is smallest when $r-r^2$ is largest. The parabola $r-r^2$ peaks at $r=\tfrac12,$ where it equals $\tfrac14,$ so the smallest value of $S$ is $\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12B Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años