Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ enteros positivos con $a+b+c+d+e=2010,$ y sea $M$ el mayor de las sumas $a+b,$ $b+c,$ $c+d,$ y $d+e.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $M$ ?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be positive integers with $a+b+c+d+e=2010,$ and let $M$ be the largest of the sums $a+b,$ $b+c,$ $c+d,$ and $d+e.$ What is the smallest possible value of $M?$

$670$

$671$

$802$

$803$

$804$

Respuesta: B

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

$(a+b)+c+(d+e)=2010,$ y cada uno de $a+b,$ $c,$ y $d+e$ es a lo sumo $M$

$(a+b)+c+(d+e)=2010,$ and each of $a+b,$ $c,$ and $d+e$ is at most $M$

Pista grande:

Esto fuerza $3M\ge2010;$ descarta $M=670,$ luego construye un ejemplo que alcance la cota

This forces $3M\ge2010;$ rule out $M=670,$ then build an example reaching the bound

Solución:

Cada uno de $a+b,$ $d+e,$ y $c$ es a lo sumo $M$ (nota que $c\le c+d\le M$ ). Sumando, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ así que $M\ge670.$

Si $M=670,$ entonces $c=670,$ pero entonces $b+c\ge671\gt M,$ una contradicción. Por lo tanto $M\ge671.$

El valor $671$ se alcanza con $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ cuyas sumas de pares consecutivos son $670,671,671,670.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of $a+b,$ $d+e,$ and $c$ is at most $M$ (note $c\le c+d\le M$ ). Adding, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ so $M\ge670.$

If $M=670,$ then $c=670,$ but then $b+c\ge671\gt M,$ a contradiction. Hence $M\ge671.$

The value $671$ is reached by $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ whose consecutive-pair sums are $670,671,671,670.$

Thus, the correct answer is B.

2010 AMC 12B Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años