Question

Sean $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ enteros positivos con $a+b+c+d+e=2010$ , y sea $M$ el mayor de las sumas $a+b$ , $b+c$ , $c+d$ y $d+e$ . ¿Cuál es el menor valor posible de $M$ ?

Let $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , and $e$ be positive integers with $a+b+c+d+e=2010$ , and let $M$ be the largest of the sums $a+b$ , $b+c$ , $c+d$ , and $d+e$ . What is the smallest possible value of $M$ ?

$670$

$671$

$802$

$803$

$804$

Solución:

Cada uno de $a+b,$ $d+e,$ y $c$ es a lo sumo $M$ (nota que $c\le c+d\le M$ ). Sumando, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ así que $M\ge670.$

Si $M=670,$ entonces $c=670,$ pero entonces $b+c\ge671\gt M,$ una contradicción. Por lo tanto $M\ge671.$

El valor $671$ se alcanza con $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ cuyas sumas de pares consecutivos son $670,671,671,670.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of $a+b,$ $d+e,$ and $c$ is at most $M$ (note $c\le c+d\le M$ ). Adding, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ so $M\ge670.$

If $M=670,$ then $c=670,$ but then $b+c\ge671\gt M,$ a contradiction. Hence $M\ge671.$

The value $671$ is reached by $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ whose consecutive-pair sums are $670,671,671,670.$

Thus, the correct answer is B.

2010 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años