Question

$ABCD$ es un cuadrado, y $M$ y $N$ son los puntos medios de $BC$ y $CD,$ respectivamente. Entonces $\sin\theta=$

$ABCD$ is a square and $M$ and $N$ are the midpoints of $BC$ and $CD,$ respectively. Then $\sin\theta=$

$\frac{\sqrt5}{5}$

$\frac35$

$\frac{\sqrt{10}}5$

$\frac45$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:vectors sine of angle midpoint geometry

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Asigna coordenadas al cuadrado y escribe los vectores $\overrightarrow{AM}$ y $\overrightarrow{AN}$

Assign coordinates to the square and write vectors $\overrightarrow{AM}$ and $\overrightarrow{AN}$

Pista grande:

Usa la fórmula del determinante para el seno del ángulo entre dos vectores

Use the determinant formula for the sine of the angle between two vectors

Solución:

Toma un cuadrado de lado $2,$ con $A=(0,0),\ M=(1,2),$ y $N=(2,1).$ Entonces $\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take the square to have side $2,$ with $A=(0,0),\ M=(1,2),$ and $N=(2,1).$ Then $\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años