Question

Al simplificar, $\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ es igual a:

When simplified $\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}$ equals:

$\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}$

$\dfrac{x^4-1}{2x^2}$

$\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2$

$\dfrac{x^2}{\sqrt2}$

$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}$

Respuesta: E

Conceptos:radical cuadrado perfecto manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Escribe $1$ con denominador $4x^4$

Put $1$ over the denominator $4x^4$

Pista grande:

El numerador se convierte en $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

The numerator becomes $4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2$

Solución:

Para $x\ne0,$ $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}$ Como $x^2\gt0,$ su raíz cuadrada es $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $x\ne0,$ $\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}$ Because $x^2\gt0,$ its square root is $\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.$

Thus, the correct answer is E.

1954 AMC 12 Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años