Question

El número $2^{48}-1$ es divisible exactamente por dos números comprendidos entre $60$ y $70.$ Estos números son:

The number $2^{48}-1$ is exactly divisible by two numbers between $60$ and $70.$ These numbers are:

$61,$ $63$

$61,$ $65$

$63,$ $65$

$63,$ $67$

$67,$ $69$

Respuesta: C

Conceptos:factorización exponente divisibilidad

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Usa que $2^m-1$ divide a $2^n-1$ siempre que $n$ sea divisible por $m$

Use the fact that $2^m-1$ divides $2^n-1$ whenever $n$ is divisible by $m$

Pista grande:

Reconoce que $63=2^6-1$ y que $2^{12}-1$ es divisible por $65$

Recognize $63=2^6-1$ and that $2^{12}-1$ is divisible by $65$

Solución:

Como $48$ es divisible por $6,$ el número $2^{48}-1$ es divisible por $63=2^6-1.$ Además, $2^{12}-1=4095=63\cdot65,$ y $48$ es divisible por $12,$ por lo que $2^{48}-1$ es divisible por $65.$ Así, los dos números son $63$ y $65.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $48$ is divisible by $6,$ the number $2^{48}-1$ is divisible by $63=2^6-1.$ Also $2^{12}-1=4095=63\cdot65,$ and $48$ is divisible by $12,$ so $2^{48}-1$ is divisible by $65.$ Thus the two numbers are $63$ and $65.$

Therefore, the correct answer is C.

1971 AMC 12 Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años