Question

El pentágono convexo $ABCDE$ satisface $\angle A=\angle B=120^\circ,$ $EA=AB=BC=2$ y $CD=DE=4.$ ¿Cuál es el área de $ABCDE$ ?

The convex pentagon $ABCDE$ has $\angle A=\angle B=120^\circ,$ $EA=AB=BC=2$ and $CD=DE=4.$ What is the area of $ABCDE?$

$10$

$7\sqrt3$

$15$

$9\sqrt3$

$12\sqrt5$

Respuesta: B

Conceptos:pentagon area isosceles trapezoid triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Traza $\overline{CE}$ para dividir el pentágono en un trapecio y un triángulo

Draw $\overline{CE}$ to split the pentagon into a trapezoid and a triangle

Pista grande:

Las condiciones sobre los ángulos dan $CE=4,$ por lo que $\triangle CDE$ es equilátero

The angle conditions give $CE=4,$ so $\triangle CDE$ is equilateral

Solución:

Coloca $A=(0,0)$ y $B=(2,0).$ Los ángulos de $120^\circ$ y las longitudes $EA=BC=2$ dan $E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).$ Así, $ABCE$ es un trapecio de altura $\sqrt3$ y bases $2$ y $4,$ por lo que su área es $3\sqrt3.$ Además, $CE=4=CD=DE,$ de modo que $\triangle CDE$ es equilátero y tiene área $4\sqrt3.$ El área total es $7\sqrt3.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $A=(0,0)$ and $B=(2,0).$ The $120^\circ$ angles and side lengths $EA=BC=2$ give $E=(-1,\sqrt3),\qquad C=(3,\sqrt3).$ Thus $ABCE$ is a trapezoid of height $\sqrt3$ and bases $2$ and $4,$ so its area is $3\sqrt3.$ Also $CE=4=CD=DE,$ making $\triangle CDE$ equilateral with area $4\sqrt3.$ The total area is $7\sqrt3.$ Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años