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1992 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1992 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1992 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Sea i=−1.i=\sqrt{-1}. Para n≥1,n\ge1, se define una sucesión de números complejos mediante z1=0,zn+1=zn2+i. \begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned} En el plano complejo, ¿a qué distancia del origen está z111z_{111}?

Let i=−1.i=\sqrt{-1}. For n≥1,n\ge1, define a sequence of complex numbers by z1=0,zn+1=zn2+i. \begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned} In the complex plane, how far from the origin is z111?z_{111}?

11

2\sqrt2

3\sqrt3

110\sqrt{110}

255\sqrt{2^{55}}

Respuesta: B
Conceptos:número complejorecurrenceperiodic sequencemodulus
Nivel de dificultad: 1960
Pista pequeña:

Calcula los primeros términos en lugar de intentar desarrollar z111z_{111}

Compute the first few terms rather than trying to expand z111z_{111}

Pista grande:

Busca un ciclo que comience con z3z_3

Look for a cycle beginning with z3z_3

Solución:

Los primeros términos son z1=0,z2=i,z3=−1+i,z4=−i,z5=−1+i. \begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned} Por tanto, desde z3z_3 la sucesión alterna entre −1+i-1+i en los índices impares y −i-i en los índices pares. Así, z111=−1+i,z_{111}=-1+i, cuya distancia al origen es (−1)2+12=2.\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first terms are z1=0,z2=i,z3=−1+i,z4=−i,z5=−1+i. \begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned} Hence the sequence alternates between −1+i-1+i at odd indices and −i-i at even indices from z3z_3 onward. Therefore z111=−1+i,z_{111}=-1+i, whose distance from the origin is (−1)2+12=2.\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.

Thus the correct answer is B.

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