1989 AMC 12 Problema 15

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15.

En $\triangle ABC,$ $AB=5,$ $BC=7,$ $AC=9$ y $D$ está en $\overline{AC}$ con $BD=5.$ Halla $AD:DC.$

In $\triangle ABC,$ $AB=5,$ $BC=7,$ $AC=9$ and $D$ is on $\overline{AC}$ with $BD=5.$ Find the ratio $AD:DC.$

$4:3$

$7:5$

$11:6$

$13:5$

$19:8$

Respuesta: E

Conceptos:Teorema de Stewart razón y proporción

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sea $AD=m$ y $DC=9-m$

Let $AD=m$ and $DC=9-m$

Pista grande:

Aplica el teorema de Stewart a la ceviana $BD$

Apply Stewart’s Theorem to cevian $BD$

Solución:

Sea $AD=m$ y $DC=9-m.$ Stewart da $\begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered}$ Al simplificar, $9m^2-57m=0,$ así que $m=\frac{19}{3}.$ Entonces $DC=\frac{8}{3},$ y $AD:DC=19:8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $AD=m$ and $DC=9-m.$ Stewart’s Theorem gives $\begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered}$ Simplifying yields $9m^2-57m=0,$ so $m=\frac{19}{3}.$ Then $DC=\frac{8}{3},$ and $AD:DC=19:8.$

Thus the correct answer is E.

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