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1978 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1978 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1978 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Si sin⁡x+cos⁡x=15\sin x+\cos x=\frac15 y 0≤x<π,0\le x\lt\pi, entonces tan⁡x\tan x es

If sin⁡x+cos⁡x=15\sin x+\cos x=\frac15 and 0≤x<π,0\le x\lt\pi, then tan⁡x\tan x is

−43-\frac43

−34-\frac34

34\frac34

43\frac43

no está completamente determinada por la información dada

not completely determined by the given information

Respuesta: A
Conceptos:identidad trigonométricacuadráticaanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la ecuación dada para determinar sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x

Square the given equation to determine sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x

Pista grande:

Considera sin⁡x\sin x y cos⁡x\cos x como raíces de una cuadrática y luego usa 0≤x<π0\le x\lt\pi

Treat sin⁡x\sin x and cos⁡x\cos x as roots of a quadratic, then use 0≤x<π0\le x\lt\pi

Solución:

Al elevar al cuadrado se obtiene 1+2sin⁡xcos⁡x=125,1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}, de modo que sin⁡xcos⁡x=−1225.\sin x\cos x=-\frac{12}{25}. Así, sin⁡x\sin x y cos⁡x\cos x son las raíces de t2−15t−1225=0, t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0, es decir, 45\frac{4}{5} y −35.-\frac{3}{5}. Como sin⁡x≥0\sin x\ge0 en el intervalo dado, sin⁡x=45\sin x=\frac{4}{5} y cos⁡x=−35.\cos x=-\frac{3}{5}. Por consiguiente, tan⁡x=−43.\tan x=-\frac{4}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring gives 1+2sin⁡xcos⁡x=125,1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}, so sin⁡xcos⁡x=−1225.\sin x\cos x=-\frac{12}{25}. Thus sin⁡x\sin x and cos⁡x\cos x are the roots of t2−15t−1225=0, t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0, namely 45\frac{4}{5} and −35.-\frac{3}{5}. Because sin⁡x≥0\sin x\ge0 on the given interval, sin⁡x=45\sin x=\frac{4}{5} and cos⁡x=−35.\cos x=-\frac{3}{5}. Hence tan⁡x=−43.\tan x=-\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is A.

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