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2017 AMC 12B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2017 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Sea ABCABC un triángulo equilátero. Prolonga el lado AB‾\overline{AB} más allá de BB hasta un punto B′B' de modo que BB′=3⋅AB.BB' = 3 \cdot AB. De manera similar, prolonga el lado BC‾\overline{BC} más allá de CC hasta un punto C′C' de modo que CC′=3⋅BC,CC' = 3 \cdot BC, y prolonga el lado CA‾\overline{CA} más allá de AA hasta un punto A′A' de modo que AA′=3⋅CA.AA' = 3 \cdot CA. ¿Cuál es la razón del área de △A′B′C′\triangle A'B'C' al área de △ABC\triangle ABC?

Let ABCABC be an equilateral triangle. Extend side AB‾\overline{AB} beyond BB to a point B′B' so that BB′=3⋅AB.BB' = 3 \cdot AB. Similarly, extend side BC‾\overline{BC} beyond CC to a point C′C' so that CC′=3⋅BC,CC' = 3 \cdot BC, and extend side CA‾\overline{CA} beyond AA to a point A′A' so that AA′=3⋅CA.AA' = 3 \cdot CA. What is the ratio of the area of △A′B′C′\triangle A'B'C' to the area of △ABC?\triangle ABC?

9:19 : 1

16:116 : 1

25:125 : 1

36:136 : 1

37:137 : 1

Respuesta: E
Conceptos:razón de áreasdescomposición de áreastriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:

Sea XX el área de △ABC.\triangle ABC. Traza CB′,CB', AC′,AC', BA′BA' para dividir △A′B′C′\triangle A'B'C' en partes

Let XX be the area of △ABC.\triangle ABC. Draw CB′,CB', AC′,AC', BA′BA' to split △A′B′C′\triangle A'B'C' into pieces

Pista grande:

Un triángulo con kk veces la base y la misma altura tiene kk veces el área; expresa cada parte como múltiplo de XX

A triangle with kk times the base and the same height has kk times the area; find each piece as a multiple of XX

Solución:

Sea X=[△ABC],X = [\triangle ABC], y traza los segmentos CB′,CB', AC′,AC', y BA′.BA'. El triángulo BB′CBB'C tiene base BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB y la misma altura que △ABC\triangle ABC desde CC a la recta AB,AB, por lo que su área es 3X;3X; de igual modo △CC′A\triangle CC'A y △AA′B\triangle AA'B tienen cada uno área 3X.3X. Luego, △AA′C′\triangle AA'C' tiene 33 veces la base y la misma altura que △ACC′,\triangle ACC', así que su área es 9X;9X; de manera similar △CC′B′\triangle CC'B' y △BB′A′\triangle BB'A' tienen cada uno área 9X.9X. Por lo tanto [△A′B′C′]=X+3(3X)+3(9X)=37X, \begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned} así que la razón es 37:1.37 : 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let X=[△ABC],X = [\triangle ABC], and draw segments CB′,CB', AC′,AC', and BA′.BA'. Triangle BB′CBB'C has base BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB and the same altitude as △ABC\triangle ABC from CC to line AB,AB, so its area is 3X;3X; likewise △CC′A\triangle CC'A and △AA′B\triangle AA'B each have area 3X.3X. Next, △AA′C′\triangle AA'C' has 33 times the base and the same height as △ACC′,\triangle ACC', so its area is 9X;9X; similarly △CC′B′\triangle CC'B' and △BB′A′\triangle BB'A' each have area 9X.9X. Thus [△A′B′C′]=X+3(3X)+3(9X)=37X, \begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned} so the ratio is 37:1.37 : 1.

Thus, the correct answer is E.

Problema 14#14
Examen completo
Problema 16#16

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