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2017 AMC 12B Problema 15

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 15 del 2017 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:razón de áreasdescomposición de áreastriángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

15.

Sea ABCABC un triángulo equilátero. Prolonga el lado AB‾\overline{AB} más allá de BB hasta un punto B′B' de modo que BB′=3⋅AB.BB' = 3 \cdot AB. De manera similar, prolonga el lado BC‾\overline{BC} más allá de CC hasta un punto C′C' de modo que CC′=3⋅BC,CC' = 3 \cdot BC, y prolonga el lado CA‾\overline{CA} más allá de AA hasta un punto A′A' de modo que AA′=3⋅CA.AA' = 3 \cdot CA. ¿Cuál es la razón del área de △A′B′C′\triangle A'B'C' al área de △ABC\triangle ABC?

Let ABCABC be an equilateral triangle. Extend side AB‾\overline{AB} beyond BB to a point B′B' so that BB′=3⋅AB.BB' = 3 \cdot AB. Similarly, extend side BC‾\overline{BC} beyond CC to a point C′C' so that CC′=3⋅BC,CC' = 3 \cdot BC, and extend side CA‾\overline{CA} beyond AA to a point A′A' so that AA′=3⋅CA.AA' = 3 \cdot CA. What is the ratio of the area of △A′B′C′\triangle A'B'C' to the area of △ABC?\triangle ABC?

9:19 : 1

16:116 : 1

25:125 : 1

36:136 : 1

37:137 : 1

Solución:

Sea X=[△ABC],X = [\triangle ABC], y traza los segmentos CB′,CB', AC′,AC', y BA′.BA'. El triángulo BB′CBB'C tiene base BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB y la misma altura que △ABC\triangle ABC desde CC a la recta AB,AB, por lo que su área es 3X;3X; de igual modo △CC′A\triangle CC'A y △AA′B\triangle AA'B tienen cada uno área 3X.3X. Luego, △AA′C′\triangle AA'C' tiene 33 veces la base y la misma altura que △ACC′,\triangle ACC', así que su área es 9X;9X; de manera similar △CC′B′\triangle CC'B' y △BB′A′\triangle BB'A' tienen cada uno área 9X.9X. Por lo tanto [△A′B′C′]=X+3(3X)+3(9X)=37X, \begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned} así que la razón es 37:1.37 : 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let X=[△ABC],X = [\triangle ABC], and draw segments CB′,CB', AC′,AC', and BA′.BA'. Triangle BB′CBB'C has base BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB and the same altitude as △ABC\triangle ABC from CC to line AB,AB, so its area is 3X;3X; likewise △CC′A\triangle CC'A and △AA′B\triangle AA'B each have area 3X.3X. Next, △AA′C′\triangle AA'C' has 33 times the base and the same height as △ACC′,\triangle ACC', so its area is 9X;9X; similarly △CC′B′\triangle CC'B' and △BB′A′\triangle BB'A' each have area 9X.9X. Thus [△A′B′C′]=X+3(3X)+3(9X)=37X, \begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned} so the ratio is 37:1.37 : 1.

Thus, the correct answer is E.

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El Problema 15 en otros años

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