Question

El número $2013$ se expresa en la forma

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},$

donde $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ y $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ son enteros positivos y $a_1 + b_1$ es lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale $|a_1 - b_1|\,$ ?

The number $2013$ is expressed in the form

$2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},$

where $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ and $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ are positive integers and $a_1 + b_1$ is as small as possible. What is $|a_1 - b_1|\,?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Como $2013 = 3\cdot 11\cdot 61,$ el numerador necesita un factorial de al menos $61!$ para aportar el primo $61,$ así que $a_1 \ge 61.$ Pero $61!$ también tiene un factor $59,$ que $2013$ no tiene, así que el denominador necesita $b_1 \ge 59.$ Por lo tanto $a_1 + b_1 \ge 120,$ alcanzado con $a_1 = 61,$ $b_1 = 59$ mediante $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.$ Entonces $|a_1 - b_1| = 2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $2013 = 3\cdot 11\cdot 61,$ the numerator needs a factorial at least $61!$ to supply the prime $61,$ so $a_1 \ge 61.$ But $61!$ also has a factor of $59,$ which $2013$ does not, so the denominator needs $b_1 \ge 59.$ Thus $a_1 + b_1 \ge 120,$ attained by $a_1 = 61,$ $b_1 = 59$ via $2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}.$ Then $|a_1 - b_1| = 2.$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años