1985 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Si $a$ y $b$ son números positivos tales que $a^b=b^a$ y $b=9a,$ entonces el valor de $a$ es

If $a$ and $b$ are positive numbers such that $a^b=b^a$ and $b=9a,$ then the value of $a$ is

$9$

$\frac19$

$\sqrt[9]{9}$

$\sqrt[3]{9}$

$\sqrt[4]{3}$

Respuesta: E

Conceptos:exponente radical sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sustituye $b=9a$ en $a^b=b^a$

Substitute $b=9a$ into $a^b=b^a$

Pista grande:

Como $a\gt0,$ toma la raíz $a$ -ésima positiva y simplifica

Because $a\gt0,$ take the $a$ -th root and simplify

Solución:

La sustitución da $a^{9a}=(9a)^a.$ Al tomar la raíz $a$ -ésima positiva se obtiene $a^9=9a,$ así que $a^8=9.$ Por tanto, $a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.$

Así, la respuesta correcta es E.

Substitution gives $a^{9a}=(9a)^a.$ Taking the positive $a$ -th root yields $a^9=9a,$ so $a^8=9.$ Therefore $a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.$

Thus the correct answer is E.

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