Question

Un director de coro debe seleccionar un grupo de cantantes de entre sus $6$ tenores y $8$ bajos. Los únicos requisitos son que la diferencia entre el número de tenores y bajos debe ser un múltiplo de $4,$ y que el grupo debe tener al menos un cantante. Sea $N$ el número de grupos que se pueden seleccionar. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $100$ ?

A choir director must select a group of singers from among his $6$ tenors and $8$ basses. The only requirements are that the difference between the number of tenors and basses must be a multiple of $4,$ and the group must have at least one singer. Let $N$ be the number of groups that can be selected. What is the remainder when $N$ is divided by $100?$

$47$

$48$

$83$

$95$

$96$

Respuesta: D

Conceptos:raíces de la unidad combinaciones teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Cuenta los pares $(t, b)$ con $t - b \equiv 0 \pmod 4$ usando un filtro de raíces de la unidad con $\omega = i$ .

Count pairs $(t, b)$ with $t - b \equiv 0 \pmod 4$ using a roots of unity filter with $\omega = i$

Pista grande:

El conteo es $\dfrac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^j)^6(1 + i^{-j})^8;$ luego resta $1$ por el grupo vacío.

The count is $\dfrac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^j)^6(1 + i^{-j})^8;$ then subtract $1$ for the empty group

Solución:

Elegir $t$ tenores y $b$ bajos tiene peso $\binom{6}{t}\binom{8}{b}.$ Para conservar solo $t - b \equiv 0 \pmod 4,$ aplica un filtro de raíces de la unidad con $\omega = i:$ $\begin{aligned} &N + 1 \\ &= \frac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^{j})^6\,(1 + i^{-j})^8. \end{aligned}$

El término $j = 0$ es $2^6\cdot 2^8 = 16384.$ El término $j = 2$ tiene el factor $(1 + i^2)^6 = 0.$ Los términos $j = 1$ y $j = 3$ son $-128i$ y $128i,$ que se cancelan. Así que la suma es $16384,$ y $\dfrac{16384}{4} = 4096.$

Este conteo incluye el grupo vacío, así que $N = 4096 - 1 = 4095,$ y $N \equiv 95 \pmod{100}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Choosing $t$ tenors and $b$ basses is weighted by $\binom{6}{t}\binom{8}{b}.$ To keep only $t - b \equiv 0 \pmod 4,$ apply a roots of unity filter with $\omega = i:$ $\begin{aligned} &N + 1 \\ &= \frac14\sum_{j=0}^{3}(1 + i^{j})^6\,(1 + i^{-j})^8. \end{aligned}$

The $j = 0$ term is $2^6\cdot 2^8 = 16384.$ The $j = 2$ term has factor $(1 + i^2)^6 = 0.$ The $j = 1$ and $j = 3$ terms are $-128i$ and $128i,$ which cancel. So the sum is $16384,$ and $\dfrac{16384}{4} = 4096.$

This count includes the empty group, so $N = 4096 - 1 = 4095,$ and $N \equiv 95 \pmod{100}.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años