1978 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Si $1-\frac4x+\frac4{x^2}=0,$ entonces $\frac2x$ es igual a

If $1-\frac4x+\frac4{x^2}=0,$ then $\frac2x$ equals

$-1$

$1$

$2$

$-1$ o $2$

$-1$ or $2$

$-1$ o $-2$

$-1$ or $-2$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática sustitución completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Sea $u=\frac2x$

Let $u=\frac2x$

Pista grande:

El trinomio resultante es un cuadrado perfecto

The resulting quadratic is a perfect square

Solución:

Con $u=\frac{2}{x},$ la ecuación se convierte en $1-2u+u^2=0,$ o bien $(u-1)^2=0.$ Por lo tanto, $\frac{2}{x}=u=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $u=\frac{2}{x},$ the equation becomes $1-2u+u^2=0,$ or $(u-1)^2=0.$ Therefore $\frac{2}{x}=u=1.$

Therefore, the correct answer is B.

2.

Si cuatro veces el recíproco de la circunferencia de un círculo es igual al diámetro del círculo, entonces el área del círculo es

If four times the reciprocal of the circumference of a circle equals the diameter of the circle, then the area of the circle is

$\frac1{\pi^2}$

$\frac1\pi$

$1$

$\pi$

$\pi^2$

Respuesta: C

Conceptos:círculo circunferencia área

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Expresa la circunferencia y el diámetro en términos del radio $r$

Write the circumference and diameter in terms of the radius $r$

Pista grande:

La condición determina directamente el producto $\pi r^2$

The condition directly determines the product $\pi r^2$

Solución:

La condición es $4\left(\frac1{2\pi r}\right)=2r.$ Al multiplicar por $\pi r$ se obtiene $2=2\pi r^2,$ de modo que el área $\pi r^2$ es igual a $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The condition is $4\left(\frac1{2\pi r}\right)=2r.$ Multiplying by $\pi r$ gives $2=2\pi r^2,$ so the area $\pi r^2$ equals $1.$

Therefore, the correct answer is C.

3.

Para todos los números no nulos $x$ y $y$ tales que $x=\frac{1}{y},$ $\left(x-\frac1x\right)\left(y+\frac1y\right)$ es igual a

For all nonzero numbers $x$ and $y$ such that $x=\frac{1}{y},$ $\left(x-\frac1x\right)\left(y+\frac1y\right)$ equals

$2x^2$

$2y^2$

$x^2+y^2$

$x^2-y^2$

$y^2-x^2$

Respuesta: D

Conceptos:sustitución diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Usa la relación de reciprocidad para sustituir $\frac{1}{x}$ y $\frac{1}{y}$

Use the reciprocal relation to replace $\frac{1}{x}$ and $\frac{1}{y}$

Pista grande:

Los dos factores se convierten en $x-y$ y $x+y$

The two factors become $x-y$ and $x+y$

Solución:

Como $x=\frac{1}{y},$ también se tiene $y=\frac{1}{x}.$ Por lo tanto, el producto es $(x-y)(y+x)=x^2-y^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $x=\frac{1}{y},$ we also have $y=\frac{1}{x}.$ Thus the product is $(x-y)(y+x)=x^2-y^2.$

Therefore, the correct answer is D.

4.

Si $a=1,$ $b=10,$ $c=100$ y $d=1000,$ entonces $\begin{aligned} &(a+b+c-d)+(a+b-c+d)\\ &\quad+(a-b+c+d)\\ &\quad+(-a+b+c+d) \end{aligned}$ es igual a

If $a=1,$ $b=10,$ $c=100$ and $d=1000,$ then $\begin{aligned} &(a+b+c-d)+(a+b-c+d)\\ &\quad+(a-b+c+d)\\ &\quad+(-a+b+c+d) \end{aligned}$ is equal to

$1111$

$2222$

$3333$

$1212$

$4242$

Respuesta: B

Conceptos:propiedad distributiva manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Cuenta cuántas veces aparece cada variable con cada signo

Count how many times each variable appears with each sign

Pista grande:

La suma completa se simplifica al doble de $a+b+c+d$

The entire sum simplifies to twice $a+b+c+d$

Solución:

Cada variable aparece tres veces con signo positivo y una vez con signo negativo, por lo que la expresión es $\begin{gathered} 2(a+b+c+d)\\ =2a+2b+2c+2d\\ =2+20+200+2000\\ =2222. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each variable appears positively three times and negatively once, so the expression is $\begin{gathered} 2(a+b+c+d)\\ =2a+2b+2c+2d\\ =2+20+200+2000\\ =2222. \end{gathered}$

Therefore, the correct answer is B.

5.

Cuatro muchachos compraron una embarcación por $\$60.$ El primero pagó la mitad de la suma de las cantidades pagadas por los otros; el segundo pagó un tercio de la suma de las cantidades pagadas por los otros; y el tercero pagó un cuarto de la suma de las cantidades pagadas por los otros. ¿Cuánto pagó el cuarto muchacho?

Four boys bought a boat for $\$60.$ The first boy paid one half of the sum of the amounts paid by the other boys; the second boy paid one third of the sum of the amounts paid by the other boys; and the third boy paid one fourth of the sum of the amounts paid by the other boys. How much did the fourth boy pay?

$\$10$

$\$12$

$\$13$

$\$14$

$\$15$

Respuesta: C

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción dinero

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sustituye cada «suma pagada por los otros muchachos» por $60$ menos el pago de ese muchacho

Replace each “sum paid by the other boys” by $60$ minus that boy’s payment

Pista grande:

Calcula por separado los tres primeros pagos y luego resta su suma de $60$

Solve separately for the first three payments, then subtract their sum from $60$

Solución:

Los tres primeros pagos son $w,$ $x,$ y $y.$ Entonces $\begin{aligned} w&=\frac12(60-w),\\ x&=\frac13(60-x),\\ y&=\frac14(60-y). \end{aligned}$ De aquí $w=20,$ $x=15,$ $y=12.$ El cuarto pago es de $60-20-15-12=13$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first three payments be $w,$ $x,$ and $y.$ Then $\begin{aligned} w&=\frac12(60-w),\\ x&=\frac13(60-x),\\ y&=\frac14(60-y). \end{aligned}$ Hence $w=20,$ $x=15,$ $y=12.$ The fourth payment is $60-20-15-12=13$ dollars.

Therefore, the correct answer is C.

6.

El número de pares distintos $(x,y)$ de números reales que satisfacen ambas ecuaciones siguientes: $\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}$ es

The number of distinct pairs $(x,y)$ of real numbers satisfying both of the following equations: $\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Factoriza la segunda ecuación como $y(1-2x)=0$

Factor the second equation as $y(1-2x)=0$

Pista grande:

Considera $y=0$ y $x=\frac12$ como casos separados

Handle $y=0$ and $x=\frac12$ as separate cases

Solución:

Si $y=0,$ la primera ecuación da $x=x^2,$ por lo que $(x,y)=(0,0)$ o $(1,0).$ Si $y\ne0,$ la segunda ecuación da $x=\frac{1}{2}.$ La primera da entonces $y^2=\frac{1}{4},$ lo cual produce $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ y $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}).$ Hay cuatro pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $y=0,$ the first equation gives $x=x^2,$ so $(x,y)=(0,0)$ or $(1,0).$ If $y\ne0,$ the second equation gives $x=\frac{1}{2}.$ The first then gives $y^2=\frac{1}{4},$ producing $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ and $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}).$ There are four pairs.

Therefore, the correct answer is E.

7.

Los lados opuestos de un hexágono regular están separados $12$ pulgadas. La longitud de cada lado, en pulgadas, es

Opposite sides of a regular hexagon are $12$ inches apart. The length of each side, in inches, is

$7.5$

$6\sqrt2$

$5\sqrt2$

$\frac92\sqrt3$

$4\sqrt3$

Respuesta: E

Conceptos:polígono regular triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La distancia entre lados opuestos es el doble de la apotema

The distance between opposite sides is twice the apothem

Pista grande:

Un hexágono regular de lado $s$ tiene apotema $\frac{\sqrt3}{2}s$

A regular hexagon of side $s$ has apothem $\frac{\sqrt3}{2}s$

Solución:

La distancia entre lados opuestos es el doble de la apotema, es decir, $s\sqrt3.$ Por lo tanto, $s\sqrt3=12,$ así que $s=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The distance between opposite sides is twice the apothem, hence $s\sqrt3.$ Therefore $s\sqrt3=12,$ so $s=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is E.

8.

Si $x\ne y$ y las sucesiones $x,$ $a_1,$ $a_2,$ $y$ y $x,$ $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $y$ son progresiones aritméticas, entonces $\frac{a_2-a_1}{b_2-b_1}$ es igual a

If $x\ne y$ and the sequences $x,$ $a_1,$ $a_2,$ $y$ and $x,$ $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $y$ each are in arithmetic progression, then $\frac{a_2-a_1}{b_2-b_1}$ equals

$\frac23$

$\frac34$

$1$

$\frac43$

$\frac32$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética razón y proporción

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Cuenta los pasos iguales desde $x$ hasta $y$ en cada sucesión

Count the equal steps from $x$ to $y$ in each sequence

Pista grande:

Las dos diferencias comunes son $\frac{y-x}{3}$ y $\frac{y-x}{4}$

The two common differences are $\frac{y-x}{3}$ and $\frac{y-x}{4}$

Solución:

La primera diferencia común es $\frac{y-x}{3},$ y la segunda es $\frac{y-x}{4}.$ Como $x\ne y,$ su razón es $\frac{\frac{y-x}{3}}{\frac{y-x}{4}}=\frac43.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first common difference is $\frac{y-x}{3},$ and the second is $\frac{y-x}{4}.$ Since $x\ne y,$ their ratio is $\frac{\frac{y-x}{3}}{\frac{y-x}{4}}=\frac43.$

Therefore, the correct answer is D.

9.

Si $x\lt0,$ entonces $\left|x-\sqrt{(x-1)^2}\right|$ es igual a

If $x\lt0,$ then $\left|x-\sqrt{(x-1)^2}\right|$ equals

$1$

$1-2x$

$-2x-1$

$1+2x$

$2x-1$

Respuesta: B

Conceptos:valor absoluto radical análisis por casos

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa $\sqrt{u^2}=|u|$

Use $\sqrt{u^2}=|u|$

Pista grande:

Cuando $x\lt0,$ determina los signos de $x-1$ y $2x-1$

When $x\lt0,$ determine the signs of $x-1$ and $2x-1$

Solución:

Como $x-1\lt0,$ $\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|=1-x.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \left|x-(1-x)\right|&=|2x-1|\\ &=1-2x, \end{aligned}$ pues $2x-1\lt0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $x-1\lt0,$ $\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|=1-x.$ Therefore $\begin{aligned} \left|x-(1-x)\right|&=|2x-1|\\ &=1-2x, \end{aligned}$ since $2x-1\lt0.$

Therefore, the correct answer is B.

10.

Si $B$ es un punto del círculo $C$ con centro $P,$ entonces el conjunto de todos los puntos $A$ del plano del círculo $C$ tales que la distancia entre $A$ y $B$ es menor o igual que la distancia entre $A$ y cualquier otro punto del círculo $C$ es

If $B$ is a point on circle $C$ with center $P,$ then the set of all points $A$ in the plane of circle $C$ such that the distance between $A$ and $B$ is less than or equal to the distance between $A$ and any other point on circle $C$ is

el segmento de $P$ a $B$

the line segment from $P$ to $B$

la semirrecta que comienza en $P$ y pasa por $B$

the ray beginning at $P$ and passing through $B$

una semirrecta que comienza en $B$

a ray beginning at $B$

un círculo cuyo centro es $P$

a circle whose center is $P$

un círculo cuyo centro es $B$

a circle whose center is $B$

Respuesta: B

Conceptos:círculo argumento extremal

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Para $A\ne P,$ el punto más cercano del círculo está en la semirrecta que parte de $P$ y pasa por $A$

For $A\ne P,$ the nearest point of the circle lies on the ray from $P$ through $A$

Pista grande:

Exige que este punto radial más cercano sea el punto fijo $B$

Require that this radial nearest point be the fixed point $B$

Solución:

Para cualquier $A\ne P,$ el punto del círculo más cercano a $A$ es la intersección del círculo con la semirrecta que parte de $P$ y pasa por $A.$ Este punto es $B$ exactamente cuando $A$ pertenece a la semirrecta que parte de $P$ y pasa por $B.$ El centro $P$ también cumple la condición porque todos los puntos del círculo están a la misma distancia de él. Por lo tanto, el lugar geométrico es esa semirrecta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For any $A\ne P,$ the closest point of the circle to $A$ is where the ray from $P$ through $A$ meets the circle. This point is $B$ exactly when $A$ lies on the ray from $P$ through $B.$ The center $P$ also qualifies because every point on the circle is equally distant from it. Thus the locus is that ray.

Therefore, the correct answer is B.

11.

Si $r$ es positivo y la recta cuya ecuación es $x+y=r$ es tangente al círculo cuya ecuación es $x^2+y^2=r,$ entonces $r$ es igual a

If $r$ is positive and the line whose equation is $x+y=r$ is tangent to the circle whose equation is $x^2+y^2=r,$ then $r$ equals

$\frac12$

$1$

$2$

$\sqrt2$

$2\sqrt2$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica círculo recta tangente

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

El círculo tiene centro en el origen y radio $\sqrt r$

The circle has center at the origin and radius $\sqrt r$

Pista grande:

Iguala la distancia del origen a la recta con el radio del círculo

Set the distance from the origin to the line equal to the circle’s radius

Solución:

La distancia del origen a $x+y-r=0$ es $\frac{r}{\sqrt2}.$ Para que haya tangencia, debe ser igual al radio $\sqrt r,$ de modo que $\frac r{\sqrt2}=\sqrt r.$ Como $r\gt0,$ al elevar al cuadrado y dividir por $r$ se obtiene $r=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The distance from the origin to $x+y-r=0$ is $\frac{r}{\sqrt2}.$ Tangency requires this to equal the radius $\sqrt r,$ so $\frac r{\sqrt2}=\sqrt r.$ Since $r\gt0,$ squaring and dividing by $r$ gives $r=2.$

Therefore, the correct answer is C.

12.

En $\triangle ADE,$ $\angle ADE=140^\circ,$ los puntos $B$ y $C$ están en los lados $AD$ y $AE,$ respectivamente, y los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ son distintos. Si las longitudes $AB,$ $BC,$ $CD,$ y $DE$ son iguales, entonces la medida de $\angle EAD$ es

In $\triangle ADE,$ $\angle ADE=140^\circ,$ points $B$ and $C$ lie on sides $AD$ and $AE,$ respectively, and points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ are distinct. If lengths $AB,$ $BC,$ $CD,$ and $DE$ are all equal, then the measure of $\angle EAD$ is

$5^\circ$

$6^\circ$

$7.5^\circ$

$8^\circ$

$10^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Denomina $\angle BAC=\angle BCA=x$ y usa sucesivamente los triángulos isósceles

Name $\angle BAC=\angle BCA=x$ and use the successive isosceles triangles

Pista grande:

Expresa los otros ángulos de la base en términos de $x$ y luego usa la suma de ángulos de $\triangle ADE$

Express the other base angles in terms of $x,$ then use the angle sum in $\triangle ADE$

Solución:

Sean $x=\angle BAC=\angle BCA,$ $y=\angle CBD=\angle CDB,$ y $z=\angle DCE=\angle DEC.$ Al aplicar sucesivamente el teorema del ángulo exterior se obtiene $y=2x,\qquad z=x+y=3x.$ Los ángulos de $\triangle ADE$ son $x,$ $140^\circ$ y $z,$ por lo que $x+140^\circ+3x=180^\circ.$ Por consiguiente, $x=10^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $x=\angle BAC=\angle BCA,$ $y=\angle CBD=\angle CDB,$ and $z=\angle DCE=\angle DEC.$ The exterior-angle theorem applied successively gives $y=2x,\qquad z=x+y=3x.$ The angles of $\triangle ADE$ are $x,$ $140^\circ,$ and $z,$ so $x+140^\circ+3x=180^\circ.$ Hence $x=10^\circ.$

Therefore, the correct answer is E.

13.

Si $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son números no nulos tales que $c$ y $d$ son las raíces de $x^2+ax+b=0$ y $a$ y $b$ son las raíces de $x^2+cx+d=0,$ entonces $a+b+c+d$ es igual a

If $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are nonzero numbers such that $c$ and $d$ are the solutions of $x^2+ax+b=0$ and $a$ and $b$ are the solutions of $x^2+cx+d=0,$ then $a+b+c+d$ equals

$0$

$-2$

$2$

$4$

$\frac{-1+\sqrt5}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Aplica las fórmulas de Vieta a ambas ecuaciones cuadráticas

Apply Vieta’s formulas to both quadratics

Pista grande:

Las dos ecuaciones de las sumas implican $b=d$ ; luego usa las ecuaciones de los productos y la condición de no nulidad

The two sum equations imply $b=d$ ; then use the product equations and nonzero condition

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}$ Las dos ecuaciones de las sumas implican $b=d.$ Como $b=d\ne0,$ las ecuaciones de los productos dan $a=c=1.$ Luego $a+b=-c$ da $b=d=-2,$ y por lo tanto $a+b+c+d=-2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Vieta’s formulas give $\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}$ The two sum equations imply $b=d.$ Since $b=d\ne0,$ the product equations give $a=c=1.$ Then $a+b=-c$ gives $b=d=-2,$ and therefore $a+b+c+d=-2.$

Therefore, the correct answer is B.

14.

Si un entero $n,$ mayor que $8,$ es una raíz de la ecuación $x^2-ax+b=0$ y la representación de $a$ en el sistema de numeración de base $n$ es $18,$ entonces la representación de $b$ en base $n$ es

If an integer $n,$ greater than $8,$ is a solution of the equation $x^2-ax+b=0$ and the representation of $a$ in the base $n$ numeration system is $18,$ then the base $n$ representation of $b$ is

$18$

$20$

$80$

$81$

$280$

Respuesta: C

Conceptos:base numérica cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Convierte el numeral $18$ en base $n$ en $n+8$

Translate the base- $n$ numeral $18$ into $n+8$

Pista grande:

Usa la suma y el producto de las dos raíces

Use the sum and product of the two roots

Solución:

En notación ordinaria, $a=(18)_n=n+8.$ Como una raíz es $n,$ la otra debe ser $8.$ Su producto es $b=8n,$ cuya representación en base $n$ es $80.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In ordinary notation, $a=(18)_n=n+8.$ Since one root is $n,$ the other root must be $8.$ Their product is $b=8n,$ whose base- $n$ representation is $80.$

Therefore, the correct answer is C.

15.

Si $\sin x+\cos x=\frac15$ y $0\le x\lt\pi,$ entonces $\tan x$ es

If $\sin x+\cos x=\frac15$ and $0\le x\lt\pi,$ then $\tan x$ is

$-\frac43$

$-\frac34$

$\frac34$

$\frac43$

no está completamente determinada por la información dada

not completely determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica cuadrática análisis por casos

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la ecuación dada para determinar $\sin x\cos x$

Square the given equation to determine $\sin x\cos x$

Pista grande:

Considera $\sin x$ y $\cos x$ como raíces de una cuadrática y luego usa $0\le x\lt\pi$

Treat $\sin x$ and $\cos x$ as roots of a quadratic, then use $0\le x\lt\pi$

Solución:

Al elevar al cuadrado se obtiene $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25},$ de modo que $\sin x\cos x=-\frac{12}{25}.$ Así, $\sin x$ y $\cos x$ son las raíces de $t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0,$ es decir, $\frac{4}{5}$ y $-\frac{3}{5}.$ Como $\sin x\ge0$ en el intervalo dado, $\sin x=\frac{4}{5}$ y $\cos x=-\frac{3}{5}.$ Por consiguiente, $\tan x=-\frac{4}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring gives $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25},$ so $\sin x\cos x=-\frac{12}{25}.$ Thus $\sin x$ and $\cos x$ are the roots of $t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0,$ namely $\frac{4}{5}$ and $-\frac{3}{5}.$ Because $\sin x\ge0$ on the given interval, $\sin x=\frac{4}{5}$ and $\cos x=-\frac{3}{5}.$ Hence $\tan x=-\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

16.

En una sala que contiene $N$ personas, con $N\gt3,$ al menos una persona no ha estrechado la mano de todas las demás. ¿Cuál es el número máximo de personas de la sala que podrían haber estrechado la mano de todas las demás?

In a room containing $N$ people, $N\gt3,$ at least one person has not shaken hands with everyone else in the room. What is the maximum number of people in the room that could have shaken hands with everyone else?

$0$

$1$

$N-1$

$N$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:teoría de grafos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Un apretón de manos que no ocurrió siempre involucra a dos personas

A missed handshake always involves two people

Pista grande:

Halla una cota superior y luego alcánzala omitiendo un solo apretón de manos

Find an upper bound, then realize it by omitting just one handshake

Solución:

Si una persona no ha dado un apretón de manos, la otra persona de ese par tampoco ha estrechado la mano de todos. Por lo tanto, a lo sumo $N-2$ personas pueden haber estrechado la mano de todos. Esto se alcanza cuando exactamente dos personas no se dan la mano entre sí y ocurren todos los demás apretones. Como $N-2$ no aparece en la lista, la respuesta es «ninguna de las anteriores».

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If one person has missed a handshake, the other person in that missed pair also has not shaken hands with everyone. Thus at most $N-2$ people can have shaken hands with everyone. This is attainable when exactly two people fail to shake hands with each other and every other handshake occurs. Since $N-2$ is not listed, the answer is “none of these.”

Therefore, the correct answer is E.

17.

Si $k$ es un número positivo y $f$ es una función tal que, para todo número positivo $x,$ $\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,$ entonces, para todo número positivo $y,$ $\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$ es igual a

If $k$ is a positive number and $f$ is a function such that, for every positive number $x,$ $\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,$ then, for every positive number $y,$ $\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$ is equal to

$\sqrt k$

$2k$

$k\sqrt k$

$k^2$

$y\sqrt k$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación funcional sustitución exponente

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Elige $x$ de modo que $x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}$

Choose $x$ so that $x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}$

Pista grande:

Después de hacer la sustitución, compara $\sqrt{\frac{12}{y}}$ con $\sqrt x$

Compare $\sqrt{\frac{12}{y}}$ with $\sqrt x$ after making the substitution

Solución:

Sea $x=\frac{3}{y},$ que es positivo. Entonces $\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}$ Por lo tanto, la expresión pedida es $\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $x=\frac{3}{y},$ which is positive. Then $\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}$ Therefore the requested expression is $\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.$

Therefore, the correct answer is D.

18.

¿Cuál es el menor entero positivo $n$ tal que $\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01$ ?

What is the smallest positive integer $n$ such that $\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01?$

$2499$

$2500$

$2501$

$10{,}000$

No existe tal entero.

There is no such integer.

Respuesta: C

Conceptos:radical racionalización del denominador desigualdad

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Racionaliza $\sqrt n-\sqrt{n-1}$

Rationalize $\sqrt n-\sqrt{n-1}$

Pista grande:

Compara el denominador resultante con $100$ cerca de $n=2500$

Compare the resulting denominator with $100$ near $n=2500$

Solución:

Al racionalizar se obtiene $\sqrt n-\sqrt{n-1} =\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}.$ Para $n=2500,$ el denominador es $50+\sqrt{2499}\lt100,$ así que la diferencia es mayor que $0.01.$ Para $n=2501,$ el denominador es $\sqrt{2501}+50\gt100,$ así que la diferencia es menor que $0.01.$ El denominador aumenta con $n,$ por lo cual $2501$ es el menor entero que cumple la condición.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Rationalizing gives $\sqrt n-\sqrt{n-1} =\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}.$ For $n=2500,$ the denominator is $50+\sqrt{2499}\lt100,$ so the difference exceeds $0.01.$ For $n=2501,$ the denominator is $\sqrt{2501}+50\gt100,$ so the difference is less than $0.01.$ The denominator increases with $n,$ making $2501$ the least such integer.

Therefore, the correct answer is C.

19.

Se elige un entero positivo $n$ que no excede $100$ de tal manera que, si $n\le50,$ la probabilidad de elegir $n$ es $p,$ y si $n\gt50,$ la probabilidad de elegir $n$ es $3p.$ La probabilidad de elegir un cuadrado perfecto es

A positive integer $n$ not exceeding $100$ is chosen in such a way that if $n\le50,$ then the probability of choosing $n$ is $p,$ and if $n\gt50,$ then the probability of choosing $n$ is $3p.$ The probability that a perfect square is chosen is

$0.05$

$0.065$

$0.08$

$0.09$

$0.1$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica cuadrado perfecto conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Primero usa la probabilidad total para determinar $p$

First use the total probability to determine $p$

Pista grande:

Cuenta por separado los cuadrados perfectos que no exceden $50$ y los que están entre $51$ y $100$

Count the perfect squares at most $50$ and those from $51$ through $100$ separately

Solución:

La probabilidad total es $50p+50(3p)=200p=1,$ por lo que $p=0.005.$ Hay siete cuadrados perfectos que no exceden $50$ y otros tres, $64,$ $81,$ $100,$ mayores que $50.$ Por consiguiente, la probabilidad pedida es $7p+3(3p)=16p=0.08.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total probability is $50p+50(3p)=200p=1,$ so $p=0.005.$ There are seven perfect squares at most $50$ and three more, $64,$ $81,$ $100,$ above $50.$ Hence the desired probability is $7p+3(3p)=16p=0.08.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

Si $a,$ $b,$ $c$ son números reales no nulos tales que $\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}$ y $x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},$ y $x\lt0,$ entonces $x$ es igual a

If $a,$ $b,$ $c$ are nonzero real numbers such that $\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}$ and $x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},$ and $x\lt0,$ then $x$ equals

$-1$

$-2$

$-4$

$-6$

$-8$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Iguala las tres fracciones a $t$ y compara por pares las ecuaciones resultantes

Set the three equal fractions to $t$ and compare pairs of the resulting equations

Pista grande:

La comparación obliga a que $a=b=c$ o $a+b+c=0$ ; usa el signo de $x$

The comparison forces either $a=b=c$ or $a+b+c=0$ ; use the sign of $x$

Solución:

Sea $t$ el valor común. Las dos primeras ecuaciones resultantes implican $(b-c)(t+2)=0,$ y las comparaciones cíclicas dan las relaciones análogas. Por lo tanto, o bien $a=b=c,$ lo que da $x=8,$ o bien $t=-2.$ En el segundo caso, $a+b=-c,$ $b+c=-a,$ y $c+a=-b,$ de modo que $x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.$ La condición $x\lt0$ selecciona este último valor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the common value be $t.$ The first two resulting equations imply $(b-c)(t+2)=0,$ and cyclic comparisons give the analogous relations. Thus either $a=b=c,$ which gives $x=8,$ or $t=-2.$ In the latter case $a+b=-c,$ $b+c=-a,$ and $c+a=-b,$ so $x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.$ The condition $x\lt0$ selects the latter value.

Therefore, the correct answer is A.

21.

Para todo número positivo $x$ distinto de $1,$ $\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}+\frac1{\log_5x}$ es igual a

For all positive numbers $x$ distinct from $1,$ $\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}+\frac1{\log_5x}$ equals

$\frac1{\log_{60}x}$

$\frac1{\log_x60}$

$\frac1{(\log_3x)(\log_4x)(\log_5x)}$

$\frac{12}{(\log_3x)+(\log_4x)+(\log_5x)}$

$\frac{\log_2x}{(\log_3x)(\log_5x)}$
${}+\frac{\log_3x}{(\log_2x)(\log_5x)}$
${}+\frac{\log_5x}{(\log_2x)(\log_3x)}$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa la identidad recíproca $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

Use the reciprocal identity $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

Pista grande:

Combina la suma resultante con la regla del producto de los logaritmos

Combine the resulting sum with the product rule for logarithms

Solución:

Sea $S$ la suma dada. Al cambiar de base y combinar logaritmos se obtiene $\begin{aligned} S&=\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}\\ &\quad+\frac1{\log_5x}\\ &=\log_x(3\cdot4\cdot5)\\ &=\log_x60\\ &=\frac1{\log_{60}x}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $S$ denote the given sum. Changing bases and combining logarithms gives $\begin{aligned} S&=\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}\\ &\quad+\frac1{\log_5x}\\ &=\log_x(3\cdot4\cdot5)\\ &=\log_x60\\ &=\frac1{\log_{60}x}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

22.

En una tarjeta aparecen las siguientes cuatro afirmaciones, y solamente estas:

En esta tarjeta exactamente una afirmación es falsa.
En esta tarjeta exactamente dos afirmaciones son falsas.
En esta tarjeta exactamente tres afirmaciones son falsas.
En esta tarjeta exactamente cuatro afirmaciones son falsas.

(Supón que cada afirmación de la tarjeta es verdadera o falsa.) Entre ellas, el número de afirmaciones falsas es exactamente

The following four statements, and only these, are found on a card:

On this card exactly one statement is false.
On this card exactly two statements are false.
On this card exactly three statements are false.
On this card exactly four statements are false.

(Assume each statement on the card is either true or false.) Among them the number of false statements is exactly

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica veraces y mentirosos

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Supón que en realidad hay $m$ afirmaciones falsas

Assume the actual number of false statements is $m$

Pista grande:

Para cada valor posible de $m,$ cuenta cuántas de las cuatro afirmaciones serían verdaderas

For each possible $m,$ count how many of the four displayed statements would then be true

Solución:

Si el número $m$ de afirmaciones que son falsas en realidad es uno de $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ exactamente una de las afirmaciones mostradas, la que menciona $m,$ es verdadera. Por lo tanto, exactamente tres afirmaciones son falsas, lo que obliga a que $m=3.$ Esto es coherente: la tercera afirmación es verdadera y las otras tres son falsas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the actual number $m$ of false statements is one of $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ exactly one displayed statement—the one naming $m$ —is true. Therefore exactly three statements are false, forcing $m=3.$ This is consistent: the third statement is true and the other three are false.

Therefore, the correct answer is D.

23.

El vértice $E$ del triángulo equilátero $ABE$ está en el interior del cuadrado $ABCD,$ y $F$ es el punto de intersección de la diagonal $BD$ y el segmento $AE.$ Si la longitud $AB$ es $\sqrt{1+\sqrt3},$ entonces el área de $\triangle ABF$ es

Vertex $E$ of equilateral triangle $ABE$ is in the interior of square $ABCD,$ and $F$ is the point of intersection of diagonal $BD$ and line segment $AE.$ If length $AB$ is $\sqrt{1+\sqrt3},$ then the area of $\triangle ABF$ is

$1$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$4-2\sqrt3$

$\frac12+\frac{\sqrt3}{4}$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero área

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Ubica $A=(0,0)$ y $B=(s,0),$ donde $s=AB$

Place $A=(0,0)$ and $B=(s,0),$ where $s=AB$

Pista grande:

Halla la intersección de $AE:\ y=\sqrt3x$ y $BD:\ y=s-x$

Find the intersection of $AE:\ y=\sqrt3x$ and $BD:\ y=s-x$

Solución:

Sean $A=(0,0),$ $B=(s,0),$ y $D=(0,s),$ donde $s=\sqrt{1+\sqrt3}.$ Las dos rectas que contienen a $F$ tienen ecuaciones $\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x. \end{aligned}$ Por lo tanto, la altura de $F$ sobre $AB$ es $\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}.$ Así, $[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $A=(0,0),$ $B=(s,0),$ and $D=(0,s),$ where $s=\sqrt{1+\sqrt3}.$ The two lines containing $F$ have equations $\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x. \end{aligned}$ Hence the altitude of $F$ above $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}.$ Therefore $[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

Si los números distintos y no nulos $x(y-z),$ $y(z-x),$ $z(x-y)$ forman una progresión geométrica de razón común $r,$ entonces $r$ satisface la ecuación

If the distinct nonzero numbers $x(y-z),$ $y(z-x),$ $z(x-y)$ form a geometric progression with common ratio $r,$ then $r$ satisfies the equation

$r^2+r+1=0$

$r^2-r+1=0$

$r^4+r^2-1=0$

$(r+1)^4+r=0$

$(r-1)^4+r=0$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Suma las tres expresiones dadas

Add the three given expressions

Pista grande:

Escribe los tres términos no nulos como $u,$ $ur,$ $ur^2$

Write the three nonzero terms as $u,$ $ur,$ $ur^2$

Solución:

Las tres expresiones tienen suma $\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}$ Al escribir la progresión geométrica no nula como $u,$ $ur,$ $ur^2$ se obtiene $u(1+r+r^2)=0.$ Como $u\ne0,$ $r^2+r+1=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The three expressions have sum $\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}$ Writing the nonzero geometric progression as $u,$ $ur,$ $ur^2$ gives $u(1+r+r^2)=0.$ Since $u\ne0,$ $r^2+r+1=0.$

Therefore, the correct answer is A.

25.

Sea $a$ un número positivo. Considera el conjunto $S$ de todos los puntos cuyas coordenadas rectangulares $(x,y)$ satisfacen todas las condiciones siguientes: $\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x. \end{aligned}$ La frontera del conjunto $S$ es un polígono con

Let $a$ be a positive number. Consider the set $S$ of all points whose rectangular coordinates $(x,y)$ satisfy all of the following conditions: $\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x. \end{aligned}$ The boundary of set $S$ is a polygon with

$3$ lados

$3$ sides

$4$ lados

$4$ sides

$5$ lados

$5$ sides

$6$ lados

$6$ sides

$7$ lados

$7$ sides

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica desigualdad

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Comienza con el cuadrado descrito por las condiciones $\text{(i)}$ y $\text{(ii)}$

Begin with the square described by conditions $\text{(i)}$ and $\text{(ii)}$

Pista grande:

Determina qué condición es redundante y cuáles dos recortan vértices opuestos

Determine which condition is redundant and which two cut off opposite corners

Solución:

Las dos primeras condiciones forman el cuadrado $[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a].$ Dentro de este cuadrado, $x+y\ge a$ se cumple automáticamente. Las dos últimas condiciones equivalen a $|x-y|\le a;$ sus rectas frontera recortan los vértices $(2a,\frac{a}{2})$ y $(\frac{a}{2},2a).$ Al recortar dos vértices opuestos de un cuadrado se obtiene un hexágono, por lo que la frontera tiene seis lados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first two conditions form the square $[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a].$ Within this square, $x+y\ge a$ is automatic. The last two conditions are equivalent to $|x-y|\le a;$ their boundary lines cut off the corners $(2a,\frac{a}{2})$ and $(\frac{a}{2},2a).$ Cutting two opposite corners from a square produces a hexagon, so the boundary has six sides.

Therefore, the correct answer is D.

26.

En $\triangle ABC,$ $AB=10,$ $AC=8,$ y $BC=6.$ El círculo $P$ es el círculo de menor radio que pasa por $C$ y es tangente a $AB.$ Sean $Q$ y $R$ los puntos de intersección distintos de $C,$ del círculo $P$ con los lados $AC$ y $BC,$ respectivamente. La longitud del segmento $QR$ es

In $\triangle ABC,$ $AB=10,$ $AC=8,$ and $BC=6.$ Circle $P$ is the circle with smallest radius which passes through $C$ and is tangent to $AB.$ Let $Q$ and $R$ be the points of intersection, distinct from $C,$ of circle $P$ with sides $AC$ and $BC,$ respectively. The length of segment $QR$ is

$4.75$

$4.8$

$5$

$4\sqrt2$

$3\sqrt3$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencias tangentes altura ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

El triángulo $6$ - $8$ - $10$ es rectángulo en $C$ ; sea $H$ el pie de la perpendicular desde $C$ hasta $AB$

The $6$ - $8$ - $10$ triangle is right at $C$ ; let $H$ be the foot from $C$ to $AB$

Pista grande:

El círculo más pequeño tiene $CH$ como diámetro, y $\angle QCR=90^\circ$

The smallest circle has $CH$ as a diameter, and $\angle QCR=90^\circ$

Solución:

Sea $H$ el pie de la altura desde $C$ hasta $AB.$ Entre los círculos que pasan por $C$ y son tangentes a $AB,$ el menor radio se obtiene cuando el punto de tangencia es $H,$ por lo que $CH$ es un diámetro. El área del triángulo rectángulo da $CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8.$ Además, $\angle QCR=90^\circ,$ así que $QR$ es un diámetro del círculo $P.$ Por lo tanto, $QR=CH=4.8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to $AB.$ Among circles through $C$ tangent to $AB,$ the least radius occurs when the tangency point is $H,$ so $CH$ is a diameter. The area of the right triangle gives $CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8.$ Also $\angle QCR=90^\circ,$ so $QR$ is a diameter of circle $P.$ Therefore $QR=CH=4.8.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

Hay más de un entero mayor que $1$ que, al dividirse entre cualquier entero $k$ tal que $2\le k\le11,$ deja residuo $1.$ ¿Cuál es la diferencia entre los dos menores enteros de este tipo?

There is more than one integer greater than $1$ which, when divided by any integer $k$ such that $2\le k\le11,$ has a remainder of $1.$ What is the difference between the two smallest such integers?

$2310$

$2311$

$27{,}720$

$27{,}721$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Cada entero buscado es $1$ más que un múltiplo común de todos los enteros desde $2$ hasta $11$

Each desired integer is $1$ more than a common multiple of every integer from $2$ through $11$

Pista grande:

La diferencia entre dos enteros consecutivos de este tipo es el mínimo común múltiplo de esos divisores

The difference of consecutive such integers is the least common multiple of those divisors

Solución:

Un entero que cumple la condición es congruente con $1$ módulo cada entero desde $2$ hasta $11,$ y por lo tanto módulo $\begin{aligned} L&=\operatorname{lcm}(2,\ldots,11)\\ &=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\\ &=27720. \end{aligned}$ Los dos menores enteros mayores que $1$ que cumplen la condición son $L+1$ y $2L+1,$ cuya diferencia es $L=27720.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A qualifying integer is congruent to $1$ modulo every integer from $2$ through $11,$ hence modulo $\begin{aligned} L&=\operatorname{lcm}(2,\ldots,11)\\ &=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\\ &=27720. \end{aligned}$ The two smallest qualifying integers greater than $1$ are $L+1$ and $2L+1,$ whose difference is $L=27720.$

Therefore, the correct answer is C.

28.

Si $\triangle A_1A_2A_3$ es equilátero y $A_{n+3}$ es el punto medio del segmento $A_nA_{n+1}$ para todo entero positivo $n,$ entonces la medida de $\angle A_{44}A_{45}A_{43}$ es igual a

If $\triangle A_1A_2A_3$ is equilateral and $A_{n+3}$ is the midpoint of line segment $A_nA_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the measure of $\angle A_{44}A_{45}A_{43}$ equals

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

$120^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:punto medio recursión vector

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Sea $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ y deriva una recurrencia para estos vectores

Let $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ and derive a recurrence for these vectors

Pista grande:

Demuestra que $\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,$ reduciendo el ángulo pedido a uno formado por los primeros puntos

Show that $\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,$ reducing the requested angle to one among the first few points

Solución:

Sea $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.$ La regla del punto medio da $\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})$ y también $\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.$ En consecuencia, $\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\mathbf d_{43}$ y $\mathbf d_{44}$ son, respectivamente, el mismo múltiplo escalar positivo de $\mathbf d_3$ y $\mathbf d_4,$ de modo que $\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.$ Como $A_4$ y $A_5$ son los puntos medios de $A_1A_2$ y $A_2A_3,$ $A_4A_5\parallel A_1A_3.$ Los ángulos del triángulo equilátero dan entonces $\angle A_4A_5A_3=120^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.$ The midpoint rule gives $\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})$ and also $\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.$ Consequently, $\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}$ Thus $\mathbf d_{43}$ and $\mathbf d_{44}$ are the same positive scalar multiple of $\mathbf d_3$ and $\mathbf d_4,$ respectively, so $\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.$ Since $A_4$ and $A_5$ are the midpoints of $A_1A_2$ and $A_2A_3,$ $A_4A_5\parallel A_1A_3.$ The equilateral-triangle angles then give $\angle A_4A_5A_3=120^\circ.$

Therefore, the correct answer is E.

29.

Los lados $AB,$ $BC,$ $CD,$ y $DA,$ respectivamente, del cuadrilátero convexo $ABCD$ se prolongan más allá de $B,$ $C,$ $D,$ y $A$ hasta los puntos $B',$ $C',$ $D',$ y $A'.$ Además, $AB=BB'=6,$ $BC=CC'=7,$ $CD=DD'=8,$ y $DA=AA'=9;$ y el área de $ABCD$ es $10.$ El área de $A'B'C'D'$ es

Sides $AB,$ $BC,$ $CD,$ and $DA,$ respectively, of convex quadrilateral $ABCD$ are extended past $B,$ $C,$ $D,$ and $A$ to points $B',$ $C',$ $D',$ and $A'.$ Also, $AB=BB'=6,$ $BC=CC'=7,$ $CD=DD'=8,$ and $DA=AA'=9;$ and the area of $ABCD$ is $10.$ The area of $A'B'C'D'$ is

$20$

$40$

$45$

$50$

$60$

Respuesta: D

Conceptos:vector descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

En notación vectorial, $A'=2A-D,$ $B'=2B-A,$ y análogamente para los otros dos vértices

In vector notation, $A'=2A-D,$ $B'=2B-A,$ and similarly for the other two vertices

Pista grande:

Sustituye estas expresiones en la fórmula del área de un polígono mediante productos vectoriales

Substitute these expressions into the cross-product area formula for a polygon

Solución:

Usando vectores de posición, las prolongaciones iguales dan $\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C. \end{aligned}$ Al sustituir en la suma orientada del área del polígono, los términos cruzados diagonales se cancelan: $\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A. \end{aligned}$ Por consiguiente, el área exterior es cinco veces el área original, es decir, $5\cdot10=50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using position vectors, the equal extensions give $\begin{aligned} A'&=2A-D,& B'&=2B-A,\\ C'&=2C-B,& D'&=2D-C. \end{aligned}$ Substitution into the oriented polygon-area sum shows that the diagonal cross terms cancel: $\begin{aligned} &A'\mathbin{\times}B' +B'\mathbin{\times}C'\\ &\quad+C'\mathbin{\times}D' +D'\mathbin{\times}A'\\ &=5A\mathbin{\times}B +5B\mathbin{\times}C\\ &\quad+5C\mathbin{\times}D +5D\mathbin{\times}A. \end{aligned}$ Hence the outer area is five times the original area, or $5\cdot10=50.$

Therefore, the correct answer is D.

30.

En un torneo de tenis participan $n$ mujeres y $2n$ hombres, y cada jugador disputa exactamente un partido contra cada uno de los demás. Si no hay empates y la razón entre el número de partidos ganados por mujeres y el número de partidos ganados por hombres es $\frac{7}{5},$ entonces $n$ es igual a

In a tennis tournament, $n$ women and $2n$ men play, and each player plays exactly one match with every other player. If there are no ties and the ratio of the number of matches won by women to the number of matches won by men is $\frac{7}{5},$ then $n$ equals

$2$

$4$

$6$

$7$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:conteo básico divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Sea $k$ el número de partidos mixtos ganados por mujeres y cuenta todas las victorias de las mujeres

Let $k$ be the number of mixed matches won by women and count all wins by women

Pista grande:

Usa $0\le k\le2n^2$ junto con la fracción requerida $\frac{7}{12}$ de todas las victorias

Use $0\le k\le2n^2$ together with the required $\frac{7}{12}$ share of all match wins

Solución:

Hay $\frac{3n(3n-1)}{2}$ partidos, por lo que las mujeres deben ganar $\frac{7n(3n-1)}{8}$ partidos. Si las mujeres ganan $k$ de los $2n^2$ partidos mixtos, entonces $\frac{n(n-1)}2+k=\frac{7n(3n-1)}8,$ lo que da $k=\frac{n(17n-3)}{8}.$ La cota $k\le2n^2$ obliga a que $n\le3.$ Para $n=1,$ $2,$ esta fórmula no da un entero, mientras que $n=3$ da $k=18,$ lo cual es posible. Por lo tanto, $n=3,$ que no aparece entre las opciones numéricas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $\frac{3n(3n-1)}{2}$ matches, so women must win $\frac{7n(3n-1)}{8}$ matches. If women win $k$ of the $2n^2$ mixed matches, then $\frac{n(n-1)}2+k=\frac{7n(3n-1)}8,$ giving $k=\frac{n(17n-3)}{8}.$ The bound $k\le2n^2$ forces $n\le3.$ For $n=1,$ $2,$ this formula is not an integer, while $n=3$ gives $k=18,$ which is possible. Thus $n=3,$ which is not among the listed numerical choices.

Therefore, the correct answer is E.

Problemas del 1978 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande: