Question

Si $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son números no nulos tales que $c$ y $d$ son las raíces de $x^2+ax+b=0$ y $a$ y $b$ son las raíces de $x^2+cx+d=0,$ entonces $a+b+c+d$ es igual a

If $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are nonzero numbers such that $c$ and $d$ are the solutions of $x^2+ax+b=0$ and $a$ and $b$ are the solutions of $x^2+cx+d=0,$ then $a+b+c+d$ equals

$0$

$-2$

$2$

$4$

$\frac{-1+\sqrt5}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Aplica las fórmulas de Vieta a ambas ecuaciones cuadráticas

Apply Vieta’s formulas to both quadratics

Pista grande:

Las dos ecuaciones de las sumas implican $b=d$ ; luego usa las ecuaciones de los productos y la condición de no nulidad

The two sum equations imply $b=d$ ; then use the product equations and nonzero condition

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}$ Las dos ecuaciones de las sumas implican $b=d.$ Como $b=d\ne0,$ las ecuaciones de los productos dan $a=c=1.$ Luego $a+b=-c$ da $b=d=-2,$ y por lo tanto $a+b+c+d=-2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Vieta’s formulas give $\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}$ The two sum equations imply $b=d.$ Since $b=d\ne0,$ the product equations give $a=c=1.$ Then $a+b=-c$ gives $b=d=-2,$ and therefore $a+b+c+d=-2.$

Therefore, the correct answer is B.

1978 AMC 12 Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años