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1983 AMC 12 Problema 13

Intenta el Problema 13 del 1983 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1983 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Si xy=a,xy=a, xz=b,xz=b, y yz=c,yz=c, y ninguna de estas cantidades es 0,0, entonces x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 es igual a

If xy=a,xy=a, xz=b,xz=b, and yz=c,yz=c, and none of these quantities is 0,0, then x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 equals

ab+ac+bcabc\frac{ab+ac+bc}{abc}

a2+b2+c2abc\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}

(a+b+c)2abc\frac{(a+b+c)^2}{abc}

(ab+ac+bc)2abc\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc}

(ab)2+(ac)2+(bc)2abc\frac{(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2}{abc}

Respuesta: E
Conceptos:sistema de ecuacionesmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:

Multiplica dos de xy=a,xy=a, xz=b,xz=b, y yz=c,yz=c, y divide entre la tercera

Multiply two of xy=a,xy=a, xz=b,xz=b, and yz=c,yz=c, then divide by the third

Pista grande:

Usa x2=abc,x^2=\frac{ab}{c}, y2=acb,y^2=\frac{ac}{b}, y z2=bcaz^2=\frac{bc}{a}

Use x2=abc,x^2=\frac{ab}{c}, y2=acb,y^2=\frac{ac}{b}, and z2=bcaz^2=\frac{bc}{a}

Solución:

De los tres productos, x2=abc,y2=acb,z2=bca. \begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a}. \end{aligned} Al expresar la suma con denominador abcabc, obtenemos x2+y2+z2=(ab)2+(ac)2abc+(bc)2abc. \begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

From the three products, x2=abc,y2=acb,z2=bca. \begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a}. \end{aligned} Putting their sum over denominator abcabc gives x2+y2+z2=(ab)2+(ac)2abc+(bc)2abc. \begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

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