Soluciones del 1983 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $x\ne0,$ $\frac{x}{2}=y^2$ y $\frac{x}{4}=4y,$ entonces $x$ es igual a

If $x\ne0,$ $\frac{x}{2}=y^2$ and $\frac{x}{4}=4y,$ then $x$ equals

$8$

$16$

$32$

$64$

$128$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Usa $\frac{x}{4}=4y$ para expresar $x$ en función de $y$

Use $\frac{x}{4}=4y$ to express $x$ in terms of $y$

Pista grande:

Después de sustituir, descarta la solución que hace $x=0$

After substitution, discard the solution that makes $x=0$

Solución:

La segunda ecuación da $x=16y.$ Al sustituir en la primera se obtiene $8y=y^2,$ así que $y(y-8)=0.$ La condición $x\ne0$ descarta $y=0,$ y quedan $y=8$ y $x=128.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The second equation gives $x=16y.$ Substituting into the first gives $8y=y^2,$ so $y(y-8)=0.$ The condition $x\ne0$ rules out $y=0,$ leaving $y=8$ and $x=128.$

Therefore, the correct answer is E.

2.

El punto $P$ está fuera del círculo $C$ en el plano. ¿A lo sumo cuántos puntos de $C$ están a $3$ cm de $P$ ?

Point $P$ is outside circle $C$ on the plane. At most how many points on $C$ are $3$ cm from $P?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Conceptos:círculo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Los puntos que están a una distancia fija de $P$ forman otro círculo

Points at a fixed distance from $P$ form another circle

Pista grande:

Cuenta los puntos comunes de los dos círculos; el máximo ocurre cuando se cruzan

Count the common points of the two circles; the maximum occurs when they cross

Solución:

Los puntos que están a $3$ cm de $P$ forman un círculo con centro en $P.$ Dos círculos distintos se cortan a lo sumo en dos puntos, y es posible que haya dos intersecciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The points $3$ cm from $P$ form a circle centered at $P.$ Two distinct circles intersect in at most two points, and two intersections are possible.

Therefore, the correct answer is B.

3.

Tres primos, $p,$ $q$ y $r,$ satisfacen $p+q=r$ y $1\lt p\lt q.$ Entonces $p$ es igual a

Three primes, $p,$ $q$ and $r,$ satisfy $p+q=r$ and $1\lt p\lt q.$ Then $p$ equals

$2$

$3$

$7$

$13$

$17$

Conceptos:primo paridad

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Todos los primos salvo uno son impares

Every prime except one is odd

Pista grande:

Si ambos sumandos fueran impares, su suma sería un número par mayor que $2$

If both addends were odd, their sum would be an even number greater than $2$

Solución:

Si tanto $p$ como $q$ fueran impares, entonces $r=p+q$ sería par y mayor que $2,$ por lo que no sería primo. Así, uno de los sumandos es el único primo par, $2.$ Como $p\lt q,$ ese sumando es $p.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If both $p$ and $q$ were odd, then $r=p+q$ would be even and greater than $2,$ so it would not be prime. Thus one addend is the only even prime, $2.$ Since $p\lt q,$ that addend is $p.$

Therefore, the correct answer is A.

4.

En la figura plana adjunta, los lados $AF$ y $CD$ son paralelos, al igual que los lados $AB$ y $FE,$ y los lados $BC$ y $ED.$ Cada lado tiene longitud $1.$ Además, $\angle FAB=\angle BCD=60^\circ.$ El área de la figura es

In the adjoining plane figure, sides $AF$ and $CD$ are parallel, as are sides $AB$ and $FE,$ and sides $BC$ and $ED.$ Each side has length $1.$ Also, $\angle FAB=\angle BCD=60^\circ.$ The area of the figure is

$\frac{\sqrt3}{2}$

$1$

$\frac32$

$\sqrt3$

$2$

Conceptos:área descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Coloca $AF$ y $CD$ verticalmente y usa los ángulos de $60^\circ$ para asignar coordenadas

Place $AF$ and $CD$ vertically and use the $60^\circ$ angles to assign coordinates

Pista grande:

Los seis vértices pueden escribirse usando cambios horizontales de $\frac{\sqrt3}{2}$

The six vertices can be written using horizontal changes of $\frac{\sqrt3}{2}$

Solución:

Las direcciones paralelas y los ángulos de $60^\circ$ sitúan los vértices, salvo un movimiento rígido, en $\begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned}$ Al aplicar la fórmula del cordón a estos seis vértices se obtiene el área $\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parallel directions and $60^\circ$ angles place the vertices, up to rigid motion, at $\begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned}$ Applying the shoelace formula to these six vertices gives area $\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

5.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $C.$ Si $\sin A=\frac23,$ entonces $\tan B$ es

Triangle $ABC$ has a right angle at $C.$ If $\sin A=\frac23,$ then $\tan B$ is

$\frac35$

$\frac{\sqrt5}{3}$

$\frac{2}{\sqrt5}$

$\frac{\sqrt5}{2}$

$\frac53$

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Los ángulos $A$ y $B$ son complementarios

Angles $A$ and $B$ are complementary

Pista grande:

Usa $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}$ y $\tan B=\cot A$

Use $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}$ and $\tan B=\cot A$

Solución:

Como $\sin A=\frac{2}{3},$ se tiene $\cos A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.$ Como $B=90^\circ-A,$ tenemos $\tan B=\cot A$ y $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\sqrt5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\sin A=\frac{2}{3},$ $\cos A=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.$ Because $B=90^\circ-A,$ we have $\tan B=\cot A$ and $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\sqrt5}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

Al multiplicar $x^5,$ $x+\frac1x$ y $1+\frac2x+\frac3{x^3},$ el producto es un polinomio de grado

When $x^5,$ $x+\frac1x$ and $1+\frac2x+\frac3{x^3}$ are multiplied, the product is a polynomial of degree

$2$

$3$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:polinomio exponente

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Sigue el mayor exponente que se obtiene al elegir un término de cada factor

Track the largest exponent produced by choosing one term from each factor

Pista grande:

El término principal proviene de $x^5\cdot x\cdot1$

The leading term comes from $x^5\cdot x\cdot1$

Solución:

El mayor exponente proviene de $x^5\cdot x\cdot1=x^6.$ Todos los demás términos tienen exponentes menores, y el menor exponente posible es $5-1-3=1,$ así que el producto es efectivamente un polinomio. Su grado es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The greatest exponent comes from $x^5\cdot x\cdot1=x^6.$ Every other term has smaller exponent, and the smallest possible exponent is $5-1-3=1,$ so the product is indeed a polynomial. Its degree is $6.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

Alice vende un artículo a $\$10$ menos que el precio de lista y recibe el $10\%$ de su precio de venta como comisión. Bob vende el mismo artículo a $\$20$ menos que el precio de lista y recibe el $20\%$ de su precio de venta como comisión. Si ambos reciben la misma comisión, entonces el precio de lista es

Alice sells an item at $\$10$ less than the list price and receives $10\%$ of her selling price as her commission. Bob sells the same item at $\$20$ less than the list price and receives $20\%$ of his selling price as his commission. If they both get the same commission, then the list price is

$\$20$

$\$30$

$\$50$

$\$70$

$\$100$

Conceptos:porcentaje dinero ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Sea $L$ el precio de lista y escribe cada comisión en función de $L$

Let $L$ be the list price and write each commission in terms of $L$

Pista grande:

Iguala $0.1(L-10)$ a $0.2(L-20)$

Set $0.1(L-10)$ equal to $0.2(L-20)$

Solución:

Si el precio de lista es $L,$ la igualdad de las comisiones da $0.1(L-10)=0.2(L-20).$ Al multiplicar por $10$ y resolver se obtiene $L-10=2L-40,$ por lo que $L=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the list price is $L,$ equality of commissions gives $0.1(L-10)=0.2(L-20).$ Multiplying by $10$ and solving gives $L-10=2L-40,$ so $L=30.$

Therefore, the correct answer is B.

8.

Sea $f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$ Entonces, para $x^2\ne1,$ $f(-x)$ es

Let $f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$ Then for $x^2\ne1,$ $f(-x)$ is

$\frac1{f(x)}$

$-f(x)$

$\frac1{f(-x)}$

$-f(-x)$

$f(x)$

Conceptos:función ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sustituye $-x$ directamente en la fórmula

Substitute $-x$ directly into the formula

Pista grande:

Multiplica el numerador y el denominador de $f(-x)$ por $-1$

Multiply numerator and denominator of $f(-x)$ by $-1$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} f(-x)&=\frac{-x+1}{-x-1}\\ &=\frac{x-1}{x+1}=\frac1{f(x)}. \end{aligned}$ La restricción $x^2\ne1$ hace que todas las cantidades mostradas estén definidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\begin{aligned} f(-x)&=\frac{-x+1}{-x-1}\\ &=\frac{x-1}{x+1}=\frac1{f(x)}. \end{aligned}$ The restriction $x^2\ne1$ makes all displayed quantities defined.

Therefore, the correct answer is A.

9.

En cierta población, la razón entre el número de mujeres y el número de hombres es $11$ a $10.$ Si la edad promedio (media aritmética) de las mujeres es $34$ y la de los hombres es $32,$ entonces la edad promedio de la población es

In a certain population the ratio of the number of women to the number of men is $11$ to $10.$ If the average (arithmetic mean) age of the women is $34$ and the average age of the men is $32,$ then the average age of the population is

$32\frac9{10}$

$32\frac{20}{21}$

$33$

$33\frac1{21}$

$33\frac1{10}$

Conceptos:media ponderada razón y proporción

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Usa grupos de $11$ mujeres y $10$ hombres

Use groups of $11$ women and $10$ men

Pista grande:

Divide $11\cdot34+10\cdot32$ entre el número total de personas

Divide $11\cdot34+10\cdot32$ by the total number of people

Solución:

Con $11$ mujeres y $10$ hombres, la suma de todas las edades es $11\cdot34+10\cdot32=694.$ Al dividir entre $21$ personas se obtiene $\frac{694}{21}=33\frac1{21}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $11$ women and $10$ men, the total of all ages is $11\cdot34+10\cdot32=694.$ Dividing by $21$ people gives $\frac{694}{21}=33\frac1{21}.$

Therefore, the correct answer is D.

10.

El segmento $AB$ es a la vez un diámetro de un círculo de radio $1$ y un lado de un triángulo equilátero $ABC.$ El círculo también corta $AC$ y $BC$ en los puntos $D$ y $E,$ respectivamente. La longitud de $AE$ es

Segment $AB$ is both a diameter of a circle of radius $1$ and a side of an equilateral triangle $ABC.$ The circle also intersects $AC$ and $BC$ at points $D$ and $E,$ respectively. The length of $AE$ is

$\frac32$

$\frac53$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\sqrt3$

$\frac{2+\sqrt3}{2}$

Conceptos:círculo ángulo inscrito triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Como $AB$ es un diámetro, $\angle AEB$ es un ángulo recto

Because $AB$ is a diameter, $\angle AEB$ is a right angle

Pista grande:

El triángulo $ABE$ es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ con hipotenusa $AB=2$

Triangle $ABE$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle with hypotenuse $AB=2$

Solución:

Como $E$ está en el círculo de diámetro $AB,$ $\angle AEB=90^\circ.$ Además, $\angle ABE=60^\circ$ porque $ABC$ es equilátero. Por tanto, $ABE$ es un triángulo $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ con hipotenusa $AB=2,$ así que $AE=\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $E$ is on the circle with diameter $AB,$ $\angle AEB=90^\circ.$ Also $\angle ABE=60^\circ$ because $ABC$ is equilateral. Thus $ABE$ is a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle with hypotenuse $AB=2,$ so $AE=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

Simplifica $\sin(x-y)\cos y$ ${}+\cos(x-y)\sin y.$

Simplify $\sin(x-y)\cos y$ ${}+\cos(x-y)\sin y.$

$1$

$\sin x$

$\cos x$

$\sin x\cos2y$

$\cos x\cos2y$

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Reconoce la identidad de adición del seno

Recognize the sine addition identity

Pista grande:

Aplica la fórmula de adición del seno con $u=x-y$ y $v=y$

Apply the sine addition formula with $u=x-y$ and $v=y$

Solución:

Tomando $u=x-y$ y $v=y,$ la identidad de adición del seno da $\begin{aligned} &\sin(x-y)\cos y\\ &\quad+\cos(x-y)\sin y\\ &=\sin((x-y)+y)=\sin x. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Taking $u=x-y$ and $v=y,$ the sine addition identity gives $\begin{aligned} &\sin(x-y)\cos y\\ &\quad+\cos(x-y)\sin y\\ &=\sin((x-y)+y)=\sin x. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

12.

Si $\log_7(\log_3(\log_2x))=0,$ entonces $x^{-\frac{1}{2}}$ es igual a

If $\log_7(\log_3(\log_2x))=0,$ then $x^{-\frac{1}{2}}$ equals

$\frac13$

$\frac1{2\sqrt3}$

$\frac1{3\sqrt3}$

$\frac1{\sqrt{42}}$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Deshaz los logaritmos uno por uno, comenzando por el exterior

Undo the logarithms one at a time, starting from the outside

Pista grande:

$\log_7u=0$ implica $u=1,$ y después continúa hacia adentro

$\log_7u=0$ implies $u=1,$ then continue inward

Solución:

La ecuación da $\log_3(\log_2x)=1,$ así que $\log_2x=3$ y $x=8.$ Por tanto, $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt8}=\frac{1}{2\sqrt2},$ que no aparece entre las opciones A–D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The equation gives $\log_3(\log_2x)=1,$ so $\log_2x=3$ and $x=8.$ Hence $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt8}=\frac{1}{2\sqrt2},$ which is not among choices A–D.

Therefore, the correct answer is E.

13.

Si $xy=a,$ $xz=b,$ y $yz=c,$ y ninguna de estas cantidades es $0,$ entonces $x^2+y^2+z^2$ es igual a

If $xy=a,$ $xz=b,$ and $yz=c,$ and none of these quantities is $0,$ then $x^2+y^2+z^2$ equals

$\frac{ab+ac+bc}{abc}$

$\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$

$\frac{(a+b+c)^2}{abc}$

$\frac{(ab+ac+bc)^2}{abc}$

$\frac{(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2}{abc}$

Conceptos:sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Multiplica dos de $xy=a,$ $xz=b,$ y $yz=c,$ y divide entre la tercera

Multiply two of $xy=a,$ $xz=b,$ and $yz=c,$ then divide by the third

Pista grande:

Usa $x^2=\frac{ab}{c},$ $y^2=\frac{ac}{b},$ y $z^2=\frac{bc}{a}$

Use $x^2=\frac{ab}{c},$ $y^2=\frac{ac}{b},$ and $z^2=\frac{bc}{a}$

Solución:

De los tres productos, $\begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a}. \end{aligned}$ Al expresar la suma con denominador $abc$ , obtenemos $\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

From the three products, $\begin{aligned} x^2&=\frac{ab}{c},\\ y^2&=\frac{ac}{b},\\ z^2&=\frac{bc}{a}. \end{aligned}$ Putting their sum over denominator $abc$ gives $\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 &=\frac{(ab)^2+(ac)^2}{abc}\\ &\quad+\frac{(bc)^2}{abc}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

14.

El dígito de las unidades de $3^{1001}7^{1002}13^{1003}$ es

The units digit of $3^{1001}7^{1002}13^{1003}$ is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:dígito de las unidades exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Reduce $13$ a $3$ al considerar los dígitos de las unidades

Reduce $13$ to $3$ when considering units digits

Pista grande:

Combina las dos potencias de $3$ y usa los ciclos de longitud $4$ de los dígitos de las unidades

Combine the two powers of $3$ and use the length- $4$ units-digit cycles

Solución:

Módulo $10,$ $3^{1001}13^{1003}\equiv3^{2004}\equiv1$ porque las potencias de $3$ se repiten cada $4.$ Además, $7^{1002}\equiv7^2\equiv9\pmod {10}.$ Así, el producto tiene dígito de las unidades $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Modulo $10,$ $3^{1001}13^{1003}\equiv3^{2004}\equiv1$ because powers of $3$ repeat every $4.$ Also $7^{1002}\equiv7^2\equiv9\pmod {10}.$ Thus the product has units digit $9.$

Therefore, the correct answer is E.

15.

Se colocan en una urna tres bolas marcadas $1,$ $2$ y $3.$ Se extrae una bola, se anota su número y se devuelve la bola a la urna. Este proceso se repite y luego se repite una vez más; en cada ocasión, todas las bolas tienen la misma probabilidad de ser extraídas. Si la suma de los números anotados es $6,$ ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído la bola número $2$ las tres veces?

Three balls marked $1,$ $2$ and $3$ are placed in an urn. One ball is drawn, its number is recorded, and then the ball is returned to the urn. This process is repeated and then repeated once more, and each ball is equally likely to be drawn on each occasion. If the sum of the numbers recorded is $6,$ what is the probability that the ball numbered $2$ was drawn all three times?

$\frac1{27}$

$\frac18$

$\frac17$

$\frac16$

$\frac13$

Conceptos:probabilidad condicional enumeración sistemática muestreo con reemplazo

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Enumera las ternas ordenadas de $\{1,2,3\}$ cuya suma es $6$

List the ordered triples from $\{1,2,3\}$ whose sum is $6$

Pista grande:

Las posibilidades son las permutaciones de $(1,2,3)$ junto con $(2,2,2)$

The possibilities are the permutations of $(1,2,3)$ together with $(2,2,2)$

Solución:

Las ternas ordenadas con suma $6$ son las seis permutaciones de $(1,2,3)$ y la terna $(2,2,2).$ Todas tienen la misma probabilidad, y exactamente una de las siete tiene tres números $2$ . Por lo tanto, la probabilidad condicional es $\frac{1}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ordered triples with sum $6$ are the six permutations of $(1,2,3)$ and the triple $(2,2,2).$ They are equally likely, and exactly one of the seven has three $2$ ’s. The conditional probability is therefore $\frac{1}{7}.$

Therefore, the correct answer is C.

16.

Sea $\begin{aligned} x&=0.123456789101112\\ &\phantom{={}}\ldots998999, \end{aligned}$ donde los dígitos se obtienen escribiendo en orden los enteros del $1$ al $999.$ El dígito número $1983$ a la derecha del punto decimal es

Let $\begin{aligned} x&=0.123456789101112\\ &\phantom{={}}\ldots998999, \end{aligned}$ where the digits are obtained by writing the integers $1$ through $999$ in order. The $1983$ rd digit to the right of the decimal point is

$2$

$3$

$5$

$7$

$8$

Conceptos:dígitos valor posicional conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cuenta primero los dígitos aportados por los enteros de una y de dos cifras

First count the digits contributed by the one- and two-digit integers

Pista grande:

Después de $189$ dígitos, ubica la posición restante entre los enteros de tres cifras

After $189$ digits, locate the remaining position within the three-digit integers

Solución:

Los enteros de una cifra aportan $9$ dígitos y los de dos cifras aportan $90\cdot2=180,$ para un total de $189$ . Por tanto, el dígito buscado es el número $1983-189=1794$ entre los dígitos de los enteros de tres cifras. Como $1794=598\cdot3,$ es el último dígito del $598$ º entero de tres cifras, a saber, $100+597=697.$ Ese dígito es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The one-digit integers contribute $9$ digits and the two-digit integers contribute $90\cdot2=180,$ for $189$ total. Thus the desired digit is the $1983-189=1794$ th digit among the three-digit integers. Since $1794=598\cdot3,$ it is the last digit of the $598$ th three-digit integer, namely $100+597=697.$ That digit is $7.$

Therefore, the correct answer is D.

17.

El diagrama de la derecha muestra varios números en el plano complejo. El círculo es el círculo unitario centrado en el origen. Uno de estos números es el recíproco de $F.$ ¿Cuál es?

The diagram to the right shows several numbers in the complex plane. The circle is the unit circle centered at the origin. One of these numbers is the reciprocal of $F.$ Which one?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Conceptos:número complejo geometría analítica transformación

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Para $z=re^{i\theta},$ su recíproco tiene módulo $\frac{1}{r}$

For $z=re^{i\theta},$ its reciprocal has modulus $\frac{1}{r}$

Pista grande:

El recíproco refleja el argumento respecto del eje real y se desplaza dentro del círculo unitario

The reciprocal reflects the argument across the real axis and moves inside the unit circle

Solución:

Si $F=re^{i\theta},$ entonces $\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}.$ Como $F$ está fuera del círculo unitario en el primer cuadrante, su recíproco está dentro del círculo unitario en el cuarto cuadrante, con el argumento reflejado. Solo el punto $C$ tiene esas propiedades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $F=re^{i\theta},$ then $\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}.$ Because $F$ is outside the unit circle in quadrant I, its reciprocal is inside the unit circle in quadrant IV, with the reflected argument. Only point $C$ has those properties.

Therefore, the correct answer is C.

18.

Sea $f$ una función polinómica tal que, para todo número real $x,$ $f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.$ Para todo número real $x,$ $f(x^2-1)$ es

Let $f$ be a polynomial function such that, for all real $x,$ $f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.$ For all real $x,$ $f(x^2-1)$ is

$x^4+5x^2+1$

$x^4+x^2-3$

$x^4-5x^2+1$

$x^4+x^2+3$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:polinomio sustitución manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Reescribe el lado derecho como un polinomio en $x^2+1$

Rewrite the right side as a polynomial in $x^2+1$

Pista grande:

Al tomar $t=x^2+1$ se obtiene $f(t)=t^2+3t-1$

Setting $t=x^2+1$ gives $f(t)=t^2+3t-1$

Solución:

Con $t=x^2+1,$ $\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1. \end{aligned}$ Por tanto, $f(t)=t^2+3t-1.$ Al sustituir $t=x^2-1$ , obtenemos $\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $t=x^2+1,$ $\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1. \end{aligned}$ Hence $f(t)=t^2+3t-1.$ Substituting $t=x^2-1$ gives $\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

19.

El punto $D$ está en el lado $CB$ del triángulo $ABC.$ Si $\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,$ $AC=3$ y $AB=6,$ entonces la longitud de $AD$ es

Point $D$ is on side $CB$ of triangle $ABC.$ If $\angle CAD=\angle DAB=60^\circ,$ $AC=3$ and $AB=6,$ then the length of $AD$ is

$2$

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

Conceptos:teorema de la bisectriz ley de los cosenos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

El teorema de la bisectriz da $\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}$

The angle bisector theorem gives $\frac{DB}{CD}=\frac{AB}{AC}$

Pista grande:

Sean $CD=t,$ $DB=2t,$ y $AD=d;$ luego aplica la ley de los cosenos a los dos triángulos

Set $CD=t,$ $DB=2t,$ and $AD=d;$ then apply the law of cosines to the two triangles

Solución:

Por el teorema de la bisectriz, escribimos $CD=t$ y $DB=2t.$ Sea $AD=d.$ La ley de los cosenos en los triángulos $ACD$ y $ABD,$ cuyos ángulos en $A$ son ambos $60^\circ,$ da $\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d. \end{aligned}$ Al restar cuatro veces la primera ecuación de la segunda se obtiene $0=-3d^2+6d.$ Como $d\gt0,$ $d=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By the angle bisector theorem, write $CD=t$ and $DB=2t.$ Let $AD=d.$ The law of cosines in triangles $ACD$ and $ABD,$ whose angles at $A$ are both $60^\circ,$ gives $\begin{aligned} t^2&=9+d^2-3d,\\ 4t^2&=36+d^2-6d. \end{aligned}$ Subtracting four times the first equation from the second yields $0=-3d^2+6d.$ Since $d\gt0,$ $d=2.$

Therefore, the correct answer is A.

20.

Si $\tan\alpha$ y $\tan\beta$ son las raíces de $x^2-px+q=0,$ y $\cot\alpha$ y $\cot\beta$ son las raíces de $x^2-rx+s=0,$ entonces $rs$ es necesariamente

If $\tan\alpha$ and $\tan\beta$ are the roots of $x^2-px+q=0,$ and $\cot\alpha$ and $\cot\beta$ are the roots of $x^2-rx+s=0,$ then $rs$ is necessarily

$pq$

$\frac1{pq}$

$\frac{p}{q^2}$

$\frac{q}{p^2}$

$\frac pq$

Conceptos:Fórmulas de Vieta ecuación racional

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Las raíces de la segunda cuadrática son los recíprocos de las raíces de la primera

The roots of the second quadratic are reciprocals of the roots of the first

Pista grande:

Usa las fórmulas de Vieta para expresar su suma y producto en función de $p,q$

Use Vieta’s formulas to express their sum and product in terms of $p,q$

Solución:

Sean las primeras raíces $u=\tan\alpha$ y $v=\tan\beta.$ Entonces $u+v=p$ y $uv=q.$ Las segundas raíces son $\frac{1}{u}$ y $\frac{1}{v},$ por lo que $\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q. \end{aligned}$ Por tanto, $rs=\frac{p}{q^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first roots be $u=\tan\alpha$ and $v=\tan\beta.$ Then $u+v=p$ and $uv=q.$ The second roots are $\frac{1}{u}$ and $\frac{1}{v},$ so $\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q. \end{aligned}$ Therefore $rs=\frac{p}{q^2}.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

Halla el menor número positivo entre los siguientes

Find the smallest positive number from the numbers below

$10-3\sqrt{11}$

$3\sqrt{11}-10$

$18-5\sqrt{13}$

$51-10\sqrt{26}$

$10\sqrt{26}-51$

Conceptos:radical desigualdad racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Compara los cuadrados para determinar cuáles de las diferencias dadas son positivas

Compare the squares to determine which listed differences are positive

Pista grande:

Racionaliza cada diferencia positiva usando $a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$

Rationalize each positive difference using $a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$

Solución:

Como $100\gt99,$ la opción A es positiva; como $324\lt325,$ la opción C es negativa; y como $2601\gt2600,$ la opción D es positiva mientras que E es negativa. Los dos valores positivos satisfacen $\begin{aligned} 10-3\sqrt{11} &=\frac1{10+3\sqrt{11}},\\ 51-10\sqrt{26} &=\frac1{51+10\sqrt{26}}. \end{aligned}$ El segundo denominador es mayor, así que la opción D es el menor número positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $100\gt99,$ choice A is positive; since $324\lt325,$ choice C is negative; and since $2601\gt2600,$ choice D is positive while E is negative. The two positive values satisfy $\begin{aligned} 10-3\sqrt{11} &=\frac1{10+3\sqrt{11}},\\ 51-10\sqrt{26} &=\frac1{51+10\sqrt{26}}. \end{aligned}$ The second denominator is larger, so choice D is the smaller positive number.

Therefore, the correct answer is D.

22.

Considera las dos funciones $\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b), \end{aligned}$ donde la variable $x$ y las constantes $a$ y $b$ son números reales. Cada par de constantes $a$ y $b$ puede considerarse como un punto $(a,b)$ en un plano $ab$ . Sea $S$ el conjunto de esos puntos $(a,b)$ para los cuales las gráficas de $y=f(x)$ y $y=g(x)$ no se cortan (en el plano $xy$ ). El área de $S$ es

Consider the two functions $\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b), \end{aligned}$ where the variable $x$ and the constants $a$ and $b$ are real numbers. Each such pair of constants $a$ and $b$ may be considered as a point $(a,b)$ in an $ab$ -plane. Let $S$ be the set of such points $(a,b)$ for which the graphs of $y=f(x)$ and $y=g(x)$ do not intersect (in the $xy$ -plane). The area of $S$ is

$1$

$\pi$

$4$

$4\pi$

infinita

infinite

Conceptos:cuadrática área del círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Iguala $f(x)=g(x)$ y exige que la cuadrática resultante no tenga raíces reales

Set $f(x)=g(x)$ and require the resulting quadratic to have no real roots

Pista grande:

Simplifica la condición de discriminante negativo en función de $a$ y $b$

Simplify the negative-discriminant condition in terms of $a$ and $b$

Solución:

Las intersecciones corresponden a las raíces de $x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0.$ No hay raíces reales exactamente cuando su discriminante es negativo: $\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0. \end{aligned}$ Así, $S$ es el interior del círculo unitario en el plano $ab$ , con área $\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Intersections correspond to roots of $x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0.$ There are no real roots exactly when its discriminant is negative: $\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0. \end{aligned}$ Thus $S$ is the interior of the unit circle in the $ab$ -plane, with area $\pi.$

Therefore, the correct answer is B.

23.

En la figura adjunta, los cinco círculos son tangentes consecutivamente entre sí y a las rectas $L_1$ y $L_2.$ Si el radio del círculo mayor es $18$ y el del menor es $8,$ entonces el radio del círculo central es

In the adjoining figure the five circles are tangent to one another consecutively and to the lines $L_1$ and $L_2.$ If the radius of the largest circle is $18$ and that of the smallest one is $8,$ then the radius of the middle circle is

$12$

$12.5$

$13$

$13.5$

$14$

Conceptos:circunferencias tangentes semejanza sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Cada par de círculos tangentes consecutivos tiene la misma forma después de un cambio de escala

Every pair of consecutive tangent circles has the same shape after scaling

Pista grande:

Los radios forman una progresión geométrica, de modo que el cuadrado del radio central es el producto de los extremos

The radii form a geometric sequence, so the middle radius squared is the product of the extremes

Solución:

Los centros se encuentran en la bisectriz del ángulo formado por $L_1$ y $L_2.$ La semejanza de la configuración para cualesquiera dos círculos consecutivos muestra que los radios consecutivos tienen una razón constante. Así, los cinco radios forman una progresión geométrica. Si el radio central es $m,$ la simetría de una progresión geométrica de cinco términos da $m^2=8\cdot18,$ por lo que $m=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The centers lie on the angle bisector of $L_1$ and $L_2.$ Similarity of the configuration for any two consecutive circles shows that consecutive radii have a constant ratio. Thus the five radii form a geometric sequence. If the middle radius is $m,$ symmetry of a five-term geometric sequence gives $m^2=8\cdot18,$ so $m=12.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes hay cuyo perímetro en cm y cuya área en $\text{cm}^2$ son numéricamente iguales?

How many non-congruent right triangles are there such that the perimeter in cm and area in $\text{cm}^2$ are numerically equal?

ninguno

none

$1$

$2$

$4$

infinitos

infinitely many

Conceptos:triángulo rectángulo escalamiento de potencias de longitud, área y volumen semejanza

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Comienza con cualquier triángulo rectángulo y multiplica las longitudes de todos sus lados por $k$

Start with any shape of right triangle and scale all its side lengths by $k$

Pista grande:

Al cambiar la escala, el perímetro se multiplica por $k$ , mientras que el área se multiplica por $k^2$

Under scaling, perimeter is multiplied by $k$ while area is multiplied by $k^2$

Solución:

Comienza con cualquier triángulo rectángulo de perímetro $P$ y área $K.$ Multiplicar todos los lados por $k=\frac{P}{K}$ produce un perímetro $kP$ y un área $k^2K,$ que son iguales. Existen infinitas formas de triángulos rectángulos no semejantes, por lo que los triángulos resultantes no son congruentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Start with any right triangle having perimeter $P$ and area $K.$ Scaling every side by $k=\frac{P}{K}$ produces perimeter $kP$ and area $k^2K,$ which are equal. Infinitely many nonsimilar right-triangle shapes exist, and the resulting triangles are therefore noncongruent.

Therefore, the correct answer is E.

25.

Si $60^a=3$ y $60^b=5,$ entonces $12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}$ es

If $60^a=3$ and $60^b=5,$ then $12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}$ is

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$3$

$\sqrt{12}$

Conceptos:logaritmo exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Expresa $1-a-b$ y $1-b$ como logaritmos en base $60$

Express $1-a-b$ and $1-b$ as base- $60$ logarithms

Pista grande:

Usa $1-a-b=\log_{60}4$ y $1-b=\log_{60}12$

Use $1-a-b=\log_{60}4$ and $1-b=\log_{60}12$

Solución:

Como $a=\log_{60}3$ y $b=\log_{60}5,$ $\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12. \end{aligned}$ Por tanto, el exponente es $\frac12\log_{12}4,$ y $12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $a=\log_{60}3$ and $b=\log_{60}5,$ $\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12. \end{aligned}$ Therefore the exponent is $\frac12\log_{12}4,$ and $12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2.$

Therefore, the correct answer is B.

26.

La probabilidad de que ocurra el evento $A$ es $\frac34;$ la probabilidad de que ocurra el evento $B$ es $\frac23.$ Sea $p$ la probabilidad de que ocurran tanto $A$ como $B.$ El menor intervalo que necesariamente contiene a $p$ es

The probability that event $A$ occurs is $\frac34;$ the probability that event $B$ occurs is $\frac23.$ Let $p$ be the probability that both $A$ and $B$ occur. The smallest interval necessarily containing $p$ is the interval

$[\frac1{12},\frac12]$

$[\frac5{12},\frac12]$

$[\frac12,\frac23]$

$[\frac5{12},\frac23]$

$[\frac1{12},\frac23]$

Conceptos:inclusión-exclusión desigualdad

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Aplica inclusión-exclusión a los eventos $A$ y $B$

Apply inclusion-exclusion to events $A$ and $B$

Pista grande:

Acota $P(A\cup B)$ entre $\max(P(A),P(B))$ y $1$

Bound $P(A\cup B)$ between $\max(P(A),P(B))$ and $1$

Solución:

La inclusión-exclusión da $\begin{aligned} p&=P(A\cap B)\\ &=\frac34+\frac23-P(A\cup B). \end{aligned}$ Como $\frac{3}{4}\le P(A\cup B)\le1,$ se sigue que $\frac5{12}\le p\le\frac23.$ Ambos extremos pueden darse, así que este es el menor intervalo necesario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Inclusion-exclusion gives $\begin{aligned} p&=P(A\cap B)\\ &=\frac34+\frac23-P(A\cup B). \end{aligned}$ Since $\frac{3}{4}\le P(A\cup B)\le1,$ it follows that $\frac5{12}\le p\le\frac23.$ Both endpoints can occur, so this is the smallest necessary interval.

Therefore, the correct answer is D.

27.

Una esfera grande se encuentra en un campo horizontal en un día soleado. En cierto momento, la sombra de la esfera se extiende $10$ m desde el punto donde la esfera toca el suelo. En el mismo instante, una vara de un metro (sostenida verticalmente con un extremo en el suelo) proyecta una sombra de $2$ m. ¿Cuál es el radio de la esfera en metros? (Supón que los rayos solares son paralelos y que la vara es un segmento de recta.)

A large sphere is on a horizontal field on a sunny day. At a certain time the shadow of the sphere reaches out a distance of $10$ m from the point where the sphere touches the ground. At the same instant a meter stick (held vertically with one end on the ground) casts a shadow of length $2$ m. What is the radius of the sphere in meters? (Assume the sun’s rays are parallel and the meter stick is a line segment.)

$\frac52$

$9-4\sqrt5$

$8\sqrt{10}-23$

$6-\sqrt{15}$

$10\sqrt5-20$

Conceptos:esfera recta tangente fórmula de la distancia semejanza

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

En una sección transversal vertical, el rayo solar límite es tangente a un círculo

In a vertical cross-section, the limiting sun ray is tangent to a circle

Pista grande:

La vara muestra que el rayo asciende $1$ unidad por cada $2$ unidades horizontales

The meter stick shows that the ray rises $1$ unit for every $2$ horizontal units

Solución:

Toma el punto de contacto de la esfera con el suelo como $(0,0)$ y su centro como $(0,r).$ El rayo solar límite pasa por el extremo de la sombra $(10,0)$ y tiene pendiente $-\frac{1}{2},$ así que su ecuación es $x+2y-10=0.$ La tangencia significa que la distancia de $(0,r)$ a esta recta es $r:$ $\frac{10-2r}{\sqrt5}=r.$ Por tanto, $r=\frac{10}{2+\sqrt5}=10\sqrt5-20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take the sphere’s ground-contact point as $(0,0)$ and its center as $(0,r).$ The limiting sun ray passes through the shadow endpoint $(10,0)$ and has slope $-\frac{1}{2},$ so its equation is $x+2y-10=0.$ Tangency means the distance from $(0,r)$ to this line equals $r:$ $\frac{10-2r}{\sqrt5}=r.$ Hence $r=\frac{10}{2+\sqrt5}=10\sqrt5-20.$

Therefore, the correct answer is E.

28.

El triángulo $ABC$ de la figura tiene área $10.$ Los puntos $D,$ $E$ y $F,$ todos distintos de $A,$ $B$ y $C,$ están en los lados $AB,$ $BC$ y $CA$ , respectivamente, y $AD=2,$ $DB=3.$ Si el triángulo $ABE$ y el cuadrilátero $DBEF$ tienen áreas iguales, entonces esa área es

Triangle $ABC$ in the figure has area $10.$ Points $D,$ $E$ and $F,$ all distinct from $A,$ $B$ and $C,$ are on sides $AB,$ $BC$ and $CA$ respectively, and $AD=2,$ $DB=3.$ If triangle $ABE$ and quadrilateral $DBEF$ have equal areas, then that area is

$4$

$5$

$6$

$\frac53\sqrt{10}$

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Traza $DE$ y cancela el triángulo común $DBE$ de las áreas iguales

Draw $DE$ and cancel the common triangle $DBE$ from the equal areas

Pista grande:

Las áreas iguales de $ADE$ y $FDE$ implican $AF\parallel DE$ ; luego compara los triángulos $DBE$ y $ABC$

Equal areas of $ADE$ and $FDE$ imply $AF\parallel DE$ ; then compare triangles $DBE$ and $ABC$

Solución:

Traza $DE.$ De $\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}$ la igualdad implica $[ADE]=[FDE].$ Su base común $DE$ da entonces $AF\parallel DE,$ por lo que los triángulos $DBE$ y $ABC$ son semejantes. Así, $\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.$ Los triángulos $ABE$ y $ABC$ comparten la altura desde $A$ hasta $BC,$ de modo que $[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Draw $DE.$ From $\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}$ equality implies $[ADE]=[FDE].$ Their common base $DE$ then gives $AF\parallel DE,$ so triangles $DBE$ and $ABC$ are similar. Hence $\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.$ Triangles $ABE$ and $ABC$ share the altitude from $A$ to $BC,$ so $[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.$

Therefore, the correct answer is C.

29.

Un punto $P$ está en el mismo plano que un cuadrado dado de lado $1.$ Sean $A,$ $B,$ $C$ y $D$ los vértices del cuadrado, tomados en sentido antihorario. Además, sean $u,$ $v$ y $w$ las distancias respectivas de $P$ a $A,$ $B$ y $C.$ ¿Cuál es la mayor distancia posible de $P$ a $D$ si $u^2+v^2=w^2$ ?

A point $P$ lies in the same plane as a given square of side $1.$ Let the vertices of the square, taken counterclockwise, be $A,$ $B,$ $C$ and $D.$ Also, let the distances from $P$ to $A,$ $B$ and $C,$ respectively, be $u,$ $v$ and $w.$ What is the greatest distance that $P$ can be from $D$ if $u^2+v^2=w^2?$

$1+\sqrt2$

$2\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$3\sqrt2$

$3+\sqrt2$

Conceptos:geometría analítica círculo fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Coloca $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ y $C=(0,1)$

Place $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ and $C=(0,1)$

Pista grande:

Sustituye $P=(x,y)$ en la ecuación de las distancias y completa el cuadrado

Substitute $P=(x,y)$ into the distance equation and complete the square

Solución:

Coloca $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ y $C=(0,1),$ con $P=(x,y).$ Entonces $\begin{aligned} &(x-1)^2+y^2\\ &\quad+(x-1)^2+(y-1)^2\\ &=x^2+(y-1)^2, \end{aligned}$ que se simplifica a $(x-2)^2+y^2=2.$ Así, $P$ está en un círculo cuyo centro está a $2$ unidades de $D$ y cuyo radio es $\sqrt2.$ Su mayor distancia a $D$ es $2+\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $D=(0,0),$ $A=(1,0),$ $B=(1,1),$ and $C=(0,1),$ with $P=(x,y).$ Then $\begin{aligned} &(x-1)^2+y^2\\ &\quad+(x-1)^2+(y-1)^2\\ &=x^2+(y-1)^2, \end{aligned}$ which simplifies to $(x-2)^2+y^2=2.$ Thus $P$ lies on a circle centered $2$ units from $D$ with radius $\sqrt2.$ Its greatest distance from $D$ is $2+\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is C.

30.

Los puntos distintos $A$ y $B$ están en un semicírculo de diámetro $MN$ y centro $C.$ El punto $P$ está en $CN$ y $\angle CAP=\angle CBP=10^\circ.$ Si $\overset{\frown}{MA}=40^\circ,$ entonces $\overset{\frown}{BN}$ es igual a

Distinct points $A$ and $B$ are on a semicircle with diameter $MN$ and center $C.$ The point $P$ is on $CN$ and $\angle CAP=\angle CBP=10^\circ.$ If $\overset{\frown}{MA}=40^\circ,$ then $\overset{\frown}{BN}$ equals

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$25^\circ$

$30^\circ$

Conceptos:círculo arco ley de los senos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

El arco de $40^\circ$ da $\angle ACP=140^\circ$

The $40^\circ$ arc gives $\angle ACP=140^\circ$

Pista grande:

Compara los triángulos $ACP$ y $BCP$ usando $AC=BC$ y la ley de los senos

Compare triangles $ACP$ and $BCP$ using $AC=BC$ and the law of sines

Solución:

Como $\overset{\frown}{MA}=40^\circ,$ el ángulo central es $\angle MCA=40^\circ,$ así que $\angle ACP=140^\circ.$ Por tanto, $\angle APC=180^\circ-140^\circ$ ${}-10^\circ=30^\circ.$ Al aplicar la ley de los senos a los triángulos $ACP$ y $BCP,$ y usar $AC=BC,$ obtenemos $\sin\angle BPC=\sin30^\circ.$ Como $A$ y $B$ son distintos, $\angle BPC=150^\circ.$ Por consiguiente, $\begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned}$ de modo que $\overset{\frown}{BN}=20^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $\overset{\frown}{MA}=40^\circ,$ the central angle $\angle MCA=40^\circ,$ so $\angle ACP=140^\circ.$ Hence $\angle APC=180^\circ-140^\circ$ ${}-10^\circ=30^\circ.$ Applying the law of sines in triangles $ACP$ and $BCP,$ and using $AC=BC,$ gives $\sin\angle BPC=\sin30^\circ.$ Because $A$ and $B$ are distinct, $\angle BPC=150^\circ.$ Therefore $\begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned}$ so $\overset{\frown}{BN}=20^\circ.$

Therefore, the correct answer is C.