Question

Dos números positivos distintos $a$ y $b$ difieren cada uno de su recíproco en $1.$ ¿Cuánto vale $a + b$ ?

Two different positive numbers $a$ and $b$ each differ from their reciprocals by $1.$ What is $a + b?$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$3$

Solución:

Un número positivo $x$ difiere de su recíproco en $1$ cuando $x - \dfrac1x = 1$ o $x - \dfrac1x = -1,$ es decir $x^2 - x - 1 = 0$ o $x^2 + x - 1 = 0.$

Las raíces positivas son $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ y $\dfrac{-1+\sqrt5}{2},$ que son recíprocas entre sí. Su suma es $a + b = \sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A positive number $x$ differs from its reciprocal by $1$ when $x - \dfrac1x = 1$ or $x - \dfrac1x = -1,$ i.e. $x^2 - x - 1 = 0$ or $x^2 + x - 1 = 0.$

The positive roots are $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ and $\dfrac{-1+\sqrt5}{2},$ which are reciprocals of each other. Their sum is $a + b = \sqrt5.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años