Question

Dos parábolas tienen ecuaciones $y = x^2 + ax + b$ y $y = x^2 + cx + d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros (no necesariamente distintos), cada uno elegido independientemente lanzando un dado justo de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que las parábolas tengan al menos un punto en común?

Two parabolas have equations $y = x^2 + ax + b$ and $y = x^2 + cx + d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are integers (not necessarily different), each chosen independently by rolling a fair six-sided die. What is the probability that the parabolas have at least one point in common?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{25}{36}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{31}{36}$

$1$

Solución:

Las parábolas se cortan donde $x^2+ax+b=x^2+cx+d,$ es decir $ax+b=cx+d.$ Esto no tiene solución exactamente cuando las rectas son paralelas y distintas: $a=c$ y $b\neq d.$

La probabilidad de que $a=c$ es $\tfrac16,$ y la probabilidad de que $b\neq d$ es $\tfrac56,$ así que la probabilidad de que no haya punto común es $\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.$

La probabilidad de al menos un punto común es $1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parabolas meet where $x^2+ax+b=x^2+cx+d,$ i.e. $ax+b=cx+d.$ This has no solution exactly when the lines are parallel and distinct: $a=c$ and $b\neq d.$

The probability that $a=c$ is $\tfrac16,$ and the probability that $b\neq d$ is $\tfrac56,$ so the probability of no common point is $\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.$

The probability of at least one common point is $1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años