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2020 AMC 12A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2020 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Existen enteros a,a, b,b, y c,c, cada uno mayor que 1,1, tales que para todo N>1N \gt 1 se cumple NNNcba=N2536.\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}\text{.} ¿Cuánto vale bb?

There are integers a,a, b,b, and c,c, each greater than 1,1, such that NNNcba=N2536\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}} for all N>1.N \gt 1. What is b?b?

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Respuesta: B
Conceptos:radicalexponente
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:

Escribe el lado izquierdo como NN elevado a la potencia 1a+1ab+1abc\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}.

Write the left side as NN to the power 1a+1ab+1abc\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}

Pista grande:

Iguala ese exponente a 2536\dfrac{25}{36} y despeja una variable anidada a la vez, empezando por a=2a = 2

Set that exponent equal to 2536\dfrac{25}{36} and peel off one nested variable at a time starting with a=2a = 2

Solución:

El lado izquierdo es NN elevado al exponente 1a+1ab+1abc,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}, que debe ser igual a 2536.\dfrac{25}{36}.

Como b,c≥2,b,c\ge2, este exponente es a lo sumo 74a.\dfrac{7}{4a}. Si a≥3,a\ge3, es a lo sumo 712<2536,\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36}, así que a=2.a=2. La ecuación se convierte en 12b+12bc=736.\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.

Al eliminar denominadores, c(7b−18)=18.c(7b-18)=18. Sea d=7b−18,d=7b-18, de modo que dd es un divisor positivo de 18.18. Entre 1,2,3,6,9,18,1,2,3,6,9,18, solo d=3d=3 hace que b=d+187b=\dfrac{d+18}{7} sea entero. Por tanto, b=3b=3 y c=6.c=6.

Así, B es la respuesta correcta.

The left side equals NN raised to the exponent 1a+1ab+1abc,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc}, which must equal 2536.\dfrac{25}{36}.

Because b,c≥2,b,c\ge2, this exponent is at most 74a.\dfrac{7}{4a}. If a≥3,a\ge3, it is at most 712<2536,\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36}, so a=2.a=2. The equation becomes 12b+12bc=736.\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.

Clearing denominators gives c(7b−18)=18.c(7b-18)=18. Set d=7b−18,d=7b-18, so dd is a positive divisor of 18.18. Among 1,2,3,6,9,18,1,2,3,6,9,18, only d=3d=3 makes b=d+187b=\dfrac{d+18}{7} an integer. Hence b=3b=3 and c=6.c=6.

Thus, B is the correct answer.

Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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