Question

Existen enteros $a,$ $b,$ y $c,$ cada uno mayor que $1,$ tales que para todo $N \gt 1$ se cumple $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$ ¿Cuánto vale $b$ ?

There are integers $a,$ $b,$ and $c,$ each greater than $1,$ such that $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$ for all $N \gt 1.$ What is $b?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

El lado izquierdo es igual a $N$ elevado al exponente $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ que debe ser igual a $\dfrac{25}{36}.$

Probando $a = 2$ queda $\dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2bc} = \dfrac{25}{36} - \dfrac12 = \dfrac{7}{36}.$

Entonces $\dfrac{1}{2b}\left(1 + \dfrac1c\right) = \dfrac{7}{36}.$ Tomando $b = 3$ se obtiene $1 + \dfrac1c = \dfrac{7}{6},$ así que $c = 6.$

Los tres son enteros mayores que $1,$ y $b = 3.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The left side equals $N$ raised to the exponent $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ which must equal $\dfrac{25}{36}.$

Trying $a = 2$ leaves $\dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2bc} = \dfrac{25}{36} - \dfrac12 = \dfrac{7}{36}.$

Then $\dfrac{1}{2b}\left(1 + \dfrac1c\right) = \dfrac{7}{36}.$ Taking $b = 3$ gives $1 + \dfrac1c = \dfrac{7}{6},$ so $c = 6.$

All three are integers greater than $1,$ and $b = 3.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años