Question

Sea $S$ el conjunto de puntos $(a, b)$ en el plano coordenado, donde cada uno de $a$ y $b$ puede ser $-1,$ $0,$ o $1.$ ¿Cuántas rectas distintas pasan por al menos dos elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of points $(a, b)$ in the coordinate plane, where each of $a$ and $b$ may be $-1,$ $0,$ or $1.$ How many distinct lines pass through at least two members of $S?$

$8$

$20$

$24$

$27$

$36$

Solución:

Hay $\binom{9}{2} = 36$ pares de puntos, y cada par determina una recta.

Sin embargo, hay tres rectas horizontales, tres verticales y dos diagonales que cada una pasa por tres puntos colineales de $S$ . Cada una de esas rectas se cuenta $3$ veces, un exceso de $2$ por recta.

Con $8$ rectas de este tipo, el número de rectas distintas es $36 - 2 \cdot 8 = 20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $\binom{9}{2} = 36$ pairs of points, and each pair determines a line.

However, there are three horizontal, three vertical, and two diagonal lines that each pass through three collinear points of $S.$ Each such line is counted $3$ times, an overcount of $2$ per line.

With $8$ such lines, the number of distinct lines is $36 - 2 \cdot 8 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años