Question

Sean $A = (0, 9)$ y $B = (0, 12).$ Los puntos $A'$ y $B'$ están sobre la recta $y = x,$ y $\overline{AA'}$ y $\overline{BB'}$ se cortan en $C = (2, 8).$ ¿Cuál es la longitud de $\overline{A'B'}$ ?

Let $A = (0, 9)$ and $B = (0, 12).$ Points $A'$ and $B'$ are on the line $y = x,$ and $\overline{AA'}$ and $\overline{BB'}$ intersect at $C = (2, 8).$ What is the length of $\overline{A'B'}?$

$2$

$2\sqrt{2}$

$3$

$2 + \sqrt{2}$

$3\sqrt{2}$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Halla las ecuaciones de las rectas $AC$ y $BC,$ luego interseca cada una con $y = x$ .

Find the equations of lines $AC$ and $BC,$ then intersect each with $y = x$

Pista grande:

$A'$ y $B'$ ambos están sobre $y = x,$ así que cada uno tiene coordenadas iguales.

$A'$ and $B'$ both lie on $y = x,$ so each has equal coordinates

Solución:

La recta $AC$ pasa por $(0, 9)$ con pendiente $\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,$ así que su ecuación es $y = -\tfrac12 x + 9.$ Al hacer $y = x$ se obtiene $A' = (6, 6).$

La recta $BC$ pasa por $(0, 12)$ con pendiente $-2,$ así que $y = -2x + 12.$ Al hacer $y = x$ se obtiene $B' = (4, 4).$

Entonces $\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Line $AC$ passes through $(0, 9)$ with slope $\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,$ so its equation is $y = -\tfrac12 x + 9.$ Setting $y = x$ gives $A' = (6, 6).$

Line $BC$ passes through $(0, 12)$ with slope $-2,$ so $y = -2x + 12.$ Setting $y = x$ gives $B' = (4, 4).$

Then $\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A Problema 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años