Question

¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de las gráficas de dos funciones polinómicas de cuarto grado diferentes $y = p(x)$ y $y = q(x),$ cada una con coeficiente principal $1$ ?

What is the maximum number of points of intersection of the graphs of two different fourth degree polynomial functions $y = p(x)$ and $y = q(x),$ each with leading coefficient $1?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Las intersecciones ocurren donde $p(x) = q(x)$ .

Intersections occur where $p(x) = q(x)$

Pista grande:

Los términos principales $x^4$ se cancelan en $p(x) - q(x)$ .

The leading $x^4$ terms cancel in $p(x) - q(x)$

Solución:

Las coordenadas $x$ de los puntos de intersección son las raíces de $p(x) - q(x).$ Como ambos coeficientes principales son $1,$ los términos $x^4$ se cancelan, así que $p(x) - q(x)$ tiene grado a lo sumo $3$ y por lo tanto a lo sumo $3$ raíces. La cota se alcanza, por ejemplo tomando $p(x) = x^4$ y $q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1),$ cuyas gráficas se intersecan en $x = -1, 0, 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $x$ -coordinates of the intersection points are the roots of $p(x) - q(x).$ Because both leading coefficients are $1,$ the $x^4$ terms cancel, so $p(x) - q(x)$ has degree at most $3$ and therefore at most $3$ roots. The bound is attainable, for example by taking $p(x) = x^4$ and $q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1),$ whose graphs intersect at $x = -1, 0, 1.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años