Question

¿Para qué valor de $x$ se cumple $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

For what value of $x$ does $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

$8$

$16$

$32$

$256$

$1024$

Solución:

Sea $L=\log_2 x.$ Convirtiendo cada término a base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{L/2}{1/2}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ y $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

La ecuación se convierte en $5L=40,$ así que $L=8$ y $x=2^8=256.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $L=\log_2 x.$ Converting each term to base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{L/2}{1/2}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ and $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

The equation becomes $5L=40,$ so $L=8$ and $x=2^8=256.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años