Question

Hay $10$ caballos, llamados Horse $1,$ Horse $2,$ $\ldots,$ Horse $10.$ Reciben sus nombres por cuántos minutos les toma dar una vuelta a una pista de carreras circular: Horse $k$ da una vuelta en exactamente $k$ minutos. En el instante $0$ todos los caballos están juntos en el punto de partida de la pista. Los caballos empiezan a correr en la misma dirección, y siguen corriendo alrededor de la pista circular a sus velocidades constantes. El menor tiempo $S\gt0,$ en minutos, en el que los $10$ caballos vuelvan a estar simultáneamente en el punto de partida es $S=2520.$ Sea $T\gt0$ el menor tiempo, en minutos, tal que al menos $5$ de los caballos estén de nuevo en el punto de partida. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $T$ ?

There are $10$ horses, named Horse $1,$ Horse $2,$ $\ldots,$ Horse $10.$ They get their names from how many minutes it takes them to run one lap around a circular race track: Horse $k$ runs one lap in exactly $k$ minutes. At time $0$ all the horses are together at the starting point on the track. The horses start running in the same direction, and they keep running around the circular track at their constant speeds. The least time $S\gt0,$ in minutes, at which all $10$ horses will again simultaneously be at the starting point is $S=2520.$ Let $T\gt0$ be the least time, in minutes, such that at least $5$ of the horses are again at the starting point. What is the sum of the digits of $T?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Horse $k$ está en el punto de partida en el instante $t$ precisamente cuando $k\mid t.$ Así que buscamos el menor $t$ con al menos $5$ divisores entre $1,2,\ldots,10.$

Revisando valores pequeños, $t=12$ es divisible entre $1,2,3,4,$ y $6,$ lo que da exactamente $5$ caballos así, y ningún $t$ menor alcanza $5.$ Por lo tanto $T=12,$ y la suma de sus dígitos es $1+2=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Horse $k$ is at the starting point at time $t$ precisely when $k\mid t.$ So we want the smallest $t$ with at least $5$ divisors among $1,2,\ldots,10.$

Checking small values, $t=12$ is divisible by $1,2,3,4,$ and $6,$ giving exactly $5$ such horses, and no smaller $t$ reaches $5.$ Thus $T=12,$ and the sum of its digits is $1+2=3.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años