Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1992 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1992 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1992 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Si tres números positivos y distintos x,x, y,y, y zz satisfacen yx−z=x+yz=xy \frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y} entonces xy=\frac{x}{y}=

If yx−z=x+yz=xy \frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y} for three positive numbers x,x, y,y, and z,z, all different, then xy=\frac{x}{y}=

12\frac12

35\frac35

23\frac23

53\frac53

22

Respuesta: E
Conceptos:proportionalgebraic systemquadratic equation
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:

Sea r=xyr=\frac{x}{y} y expresa zy\frac{z}{y} usando la razón central

Let r=xyr=\frac{x}{y} and express zy\frac{z}{y} using the middle ratio

Pista grande:

Sustituye zy=r+1r\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r} en la primera razón

Substitute zy=r+1r\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r} into the first ratio

Solución:

Sea r=xy>0.r=\frac{x}{y}\gt0. De x+yz=r,\frac{x+y}{z}=r, se obtiene zy=r+1r.\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}. Entonces yx−z=1r−r+1r=r. \frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r. Por tanto, r2−r−1=1,r^2-r-1=1, o r2−r−2=0.r^2-r-2=0. Así, r=2r=2 o −1,-1, y la positividad da r=2.r=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let r=xy>0.r=\frac{x}{y}\gt0. From x+yz=r,\frac{x+y}{z}=r, we get zy=r+1r.\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}. Then yx−z=1r−r+1r=r. \frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r. Thus r2−r−1=1,r^2-r-1=1, or r2−r−2=0.r^2-r-2=0. Hence r=2r=2 or −1,-1, and positivity gives r=2.r=2.

Thus the correct answer is E.

← Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17 →

El Problema 16 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B