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1976 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1976 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1976 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

En los triángulos ABCABC y DEF,DEF, las longitudes AC,AC, BC,BC, DFDF y EFEF son iguales. La longitud ABAB es el doble de la altura de △DEF\triangle DEF trazada desde FF hasta DE.DE. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.\mathrm{I}. ∠ACB\angle ACB y ∠DFE\angle DFE deben ser complementarios.

II.\mathrm{II}. ∠ACB\angle ACB y ∠DFE\angle DFE deben ser suplementarios.

III.\mathrm{III}. El área de △ABC\triangle ABC debe ser igual al área de △DEF.\triangle DEF.

IV.\mathrm{IV}. El área de △ABC\triangle ABC debe ser el doble del área de △DEF.\triangle DEF.

In triangles ABCABC and DEF,DEF, lengths AC,AC, BC,BC, DFDF and EFEF are all equal. Length ABAB is twice the length of the altitude of △DEF\triangle DEF from FF to DE.DE. Which of the following statements is (are) true?

I.\mathrm{I}. ∠ACB\angle ACB and ∠DFE\angle DFE must be complementary.

II.\mathrm{II}. ∠ACB\angle ACB and ∠DFE\angle DFE must be supplementary.

III.\mathrm{III}. The area of △ABC\triangle ABC must equal the area of △DEF.\triangle DEF.

IV.\mathrm{IV}. The area of △ABC\triangle ABC must equal twice the area of △DEF.\triangle DEF.

solo II\mathrm{II}

II\mathrm{II} only

solo III\mathrm{III}

III\mathrm{III} only

solo IV\mathrm{IV}

IV\mathrm{IV} only

solo I\mathrm{I} y III\mathrm{III}

I\mathrm{I} and III\mathrm{III} only

solo II\mathrm{II} y III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

Respuesta: E
Conceptos:triángulo isóscelesalturacongruencia (geometría)área
Nivel de dificultad: 2130
Pista pequeña:

Traza alturas desde CC y FF; cada altura biseca la base de su triángulo isósceles

Drop altitudes from CC and FF; each altitude bisects the base of its isosceles triangle

Pista grande:

Compara una mitad de ABCABC con una mitad de DEFDEF como triángulos rectángulos

Compare a half of ABCABC with a half of DEFDEF as right triangles

Solución:

Sea ss la longitud de los lados iguales, sea AB=2a,AB=2a, y sea aa la altura trazada desde F.F. En los triángulos isósceles, la altura desde CC biseca AB,AB, mientras que la altura desde FF biseca DE.DE. Una mitad de ABCABC tiene hipotenusa ss y cateto a;a; una mitad de DEFDEF tiene la misma hipotenusa y el cateto de altura a.a. Los dos triángulos rectángulos son congruentes, con sus catetos intercambiados. Por ello, sus ángulos agudos correspondientes son complementarios, así que los ángulos completos de los vértices ∠ACB\angle ACB y ∠DFE\angle DFE suman 180∘.180^\circ. Las áreas de las mitades correspondientes también son iguales; por tanto, las áreas de los triángulos completos son iguales. Las afirmaciones II\mathrm{II} y III\mathrm{III} son verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the equal sides have length s,s, let AB=2a,AB=2a, and let the altitude from FF be a.a. In the isosceles triangles, the altitude from CC bisects AB,AB, while the altitude from FF bisects DE.DE. A half of ABCABC has hypotenuse ss and leg a;a; a half of DEFDEF has the same hypotenuse and altitude leg a.a. The two right triangles are congruent with their legs interchanged. Thus their relevant acute angles are complementary, so the full vertex angles ∠ACB\angle ACB and ∠DFE\angle DFE sum to 180∘.180^\circ. The corresponding half-areas are equal as well, hence the full triangle areas are equal. Statements II\mathrm{II} and III\mathrm{III} hold.

Therefore, the correct answer is E.

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