Question

Se lanza tres veces un dado estándar, justo y de seis caras. Dado que la suma de los dos primeros lanzamientos es igual al tercero, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos un $2$ ?

A fair standard six-sided dice is tossed three times. Given that the sum of the first two tosses equals the third, what is the probability that at least one $2$ is tossed?

$\frac16$

$\frac{91}{216}$

$\frac12$

$\frac8{15}$

$\frac7{12}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad condicional case counting

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Bajo la condición dada, cuenta los pares ordenados de los dos primeros lanzamientos cuya suma es a lo sumo $6$

Under the stated condition, count ordered pairs for the first two tosses whose sum is at most $6$

Pista grande:

Para el recuento favorable, separa el caso en que el tercer lanzamiento es $2$ de los pares que tienen un $2$ entre los dos primeros

For the favorable count, separate a third-toss $2$ from pairs having a $2$ among the first two tosses

Solución:

Para terceros lanzamientos de $2,3,4,5,6,$ las cantidades de pares ordenados de los dos primeros lanzamientos son $1,2,3,4,5,$ lo que da $15$ resultados condicionales igualmente probables. Un tercer lanzamiento de $2$ aporta $(1,1,2).$ Un $2$ en la primera posición da $4$ resultados y un $2$ en la segunda da $4,$ con $(2,2,4)$ contado dos veces. Por tanto, hay $1+4+4-1=8$ resultados favorables, y la respuesta correcta es D.

For third tosses $2,3,4,5,6,$ the numbers of ordered first-two-toss pairs are $1,2,3,4,5,$ for $15$ equally likely conditional outcomes. A third toss of $2$ contributes $(1,1,2).$ A $2$ in the first position gives $4$ outcomes and a $2$ in the second gives $4,$ with $(2,2,4)$ counted twice. Thus there are $1+4+4-1=8$ favorable outcomes, and the correct answer is D.

1996 AMC 12 Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años