Question

En $\triangle ABC,$ $AB=8,$ $BC=7,$ $CA=6$ y el lado $BC$ se prolonga, como muestra la figura, hasta un punto $P$ de modo que $\triangle PAB$ es semejante a $\triangle PCA.$ La longitud de $PC$ es

In $\triangle ABC,$ $AB=8,$ $BC=7,$ $CA=6$ and side $BC$ is extended, as shown in the figure, to a point $P$ so that $\triangle PAB$ is similar to $\triangle PCA.$ The length of $PC$ is

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:similar triangles proportion segment addition

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa el orden de los vértices en $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ para emparejar los lados correspondientes

Use the vertex order in $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ to match corresponding sides

Pista grande:

Sea $PC=t$ y usa tanto $PB=PC+7$ como la razón de semejanza repetida

Set $PC=t$ and use both $PB=PC+7$ and the repeated similarity ratio

Solución:

El orden indicado en la semejanza da $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.$ Sea $PC=t.$ Entonces $PA=\frac{4t}{3}$ y $PB=\frac{16t}{9}.$ Como $PB=PC+CB=t+7,$ $\frac{16t}{9}=t+7,$ de donde $t=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The stated order of similarity gives $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.$ Let $PC=t.$ Then $PA=\frac{4t}{3}$ and $PB=\frac{16t}{9}.$ Since $PB=PC+CB=t+7,$ $\frac{16t}{9}=t+7,$ which gives $t=9.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 Problema 16

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años