Question

Al desarrollar $(a-b)^n,$ donde $n\ge2$ y $ab\ne0,$ mediante el teorema del binomio, se observa que, si $a=kb,$ donde $k$ es un entero positivo, la suma del segundo y el tercer término es cero. Entonces, $n$ es igual a:

When $(a-b)^n,$ $n\ge2,$ $ab\ne0,$ is expanded by the binomial theorem, it is found that, when $a=kb,$ where $k$ is a positive integer, the sum of the second and third terms is zero. Then $n$ equals:

$\dfrac12k(k-1)$

$\dfrac12k(k+1)$

$2k-1$

$2k$

$2k+1$

Respuesta: E

Conceptos:teorema del binomio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

El segundo y el tercer término son $-na^{n-1}b$ y $\binom n2a^{n-2}b^2$

The second and third terms are $-na^{n-1}b$ and $\binom n2a^{n-2}b^2$

Pista grande:

Sustituye $a=kb$ y cancela el factor común no nulo

Substitute $a=kb$ and cancel the common nonzero factor

Solución:

La suma del segundo y el tercer término es $-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.$ Al sustituir $a=kb$ y dividir entre la cantidad no nula $na^{n-2}b$ , se obtiene $-k+\frac{n-1}{2}=0.$ Por lo tanto, $n=2k+1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum of the second and third terms is $-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.$ Substituting $a=kb$ and dividing by the nonzero quantity $na^{n-2}b$ gives $-k+\frac{n-1}{2}=0.$ Therefore $n=2k+1.$

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años