Question

La ecuación $2^{2x}-8\cdot2^x+12=0$ se satisface para:

The equation $2^{2x}-8\cdot2^x+12=0$ is satisfied by:

$\log 3$

$\dfrac12\log 6$

$1+\log\dfrac34$

$1+\dfrac{\log3}{\log2}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:exponente logaritmo cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea $t=2^x$ y resuelve una cuadrática en $t$

Let $t=2^x$ and solve a quadratic in $t$

Pista grande:

Una raíz es $t=6$ ; toma logaritmos en base $2$

One root is $t=6$ ; take logarithms base $2$

Solución:

Sea $t=2^x.$ Entonces, $\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}$ La raíz $t=6$ da $\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}$ (La ecuación también se satisface con $x=1,$ que no aparece entre las opciones).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $t=2^x.$ Then $\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}$ The root $t=6$ gives $\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}$ (The equation is also satisfied by $x=1,$ which is not a listed choice.)

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años