Question

Si $\theta$ es un ángulo agudo y $\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}},$ entonces $\tan\theta$ es igual a

If $\theta$ is an acute angle and $\sin\frac12\theta=\sqrt{\frac{x-1}{2x}},$ then $\tan\theta$ equals

$x$

$\dfrac1x$

$\dfrac{\sqrt{x-1}}{x+1}$

$\dfrac{\sqrt{x^2-1}}x$

$\sqrt{x^2-1}$

Respuesta: E

Conceptos:identidad trigonométrica radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Usa $\cos\theta=1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})$

Use $\cos\theta=1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})$

Pista grande:

Una vez conocido $\cos\theta$ , aplica $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ y usa que $\theta$ es agudo

Once $\cos\theta$ is known, apply $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$ and use that $\theta$ is acute

Solución:

La identidad de medio ángulo da $\begin{aligned} \cos\theta &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=1-\frac{x-1}{x}\\ &=\frac1x. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=x^2-1.$ Como $\theta$ es agudo, su tangente es positiva, así que $\tan\theta=\sqrt{x^2-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The half-angle identity gives $\begin{aligned} \cos\theta &=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\\ &=1-\frac{x-1}{x}\\ &=\frac1x. \end{aligned}$ Therefore $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1=x^2-1.$ Because $\theta$ is acute, its tangent is positive, so $\tan\theta=\sqrt{x^2-1}.$

Therefore, the correct answer is E.

1973 AMC 12 Problema 17

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años