Question

Un rectángulo de $8$ por $2\sqrt2$ tiene el mismo centro que un círculo de radio $2.$ El área de la región común al rectángulo y al círculo es

An $8$ by $2\sqrt2$ rectangle has the same center as a circle of radius $2.$ The area of the region common to both the rectangle and the circle is

$2\pi$

$2\pi+2$

$4\pi-4$

$2\pi+4$

$4\pi-2$

Respuesta: D

Conceptos:circle segments área simetría

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

El rectángulo elimina dos segmentos circulares congruentes del círculo

The rectangle removes two congruent caps from the circle

Pista grande:

La cuerda de cada segmento está a distancia $\sqrt2$ del centro, por lo que la mitad de su ángulo central es $45^\circ$

The cap chord is at distance $\sqrt2$ from the center, so its half central angle is $45^\circ$

Solución:

El rectángulo es más ancho que el círculo, así que la región común es el círculo sin los segmentos superior e inferior situados más allá de la distancia $\sqrt2$ del centro. Uno de esos segmentos tiene área $\begin{aligned} 2^2\left(\frac{\pi}{4}\right) &-\sqrt2\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}\\ &=\pi-2. \end{aligned}$ Por lo tanto, el área común es $4\pi-2(\pi-2)=2\pi+4.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rectangle is wider than the circle, so the common region is the circle with the top and bottom caps beyond distance $\sqrt2$ from the center removed. One cap has area $\begin{aligned} 2^2\left(\frac{\pi}{4}\right) &-\sqrt2\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}\\ &=\pi-2. \end{aligned}$ Therefore the common area is $4\pi-2(\pi-2)=2\pi+4.$ Thus the correct answer is D.

1994 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años